已知函数f(x)=(a/2)x^2-4x+lnx有两个极值点,求实数a的范围
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/07 11:07:11
已知函数f(x)=(a/2)x^2-4x+lnx有两个极值点,求实数a的范围
先求出函数的导数,由题意知,导数等于0有两个正根,分a<0,a=0和a>0三种情况讨论.
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f′(x)=ax−4+1/x=(ax²−4x+1)/x(x>0),
①当a<0时,x1·x2=1/a<0,f'(x)=0两根异号,不合题意;【f(x)定义域为(0,+∞)】
②当a=0时,f′(x)=(−4x+1)/x=0,此时x=-1/4,显然不成立;
③当a>0时,x1+x2=4/a>0,x1·x2=1/a>0,可知此时有两正根;
△=16-4a>0,即0<a<4,
此时由f′(x)=0得,x1=[2−√(4−a)]/a,x2=[2+√(4−a)]/a,
由【下表】:
故当0<a<4时,函数f(x)的两个极值点.
【本题考查函数在某点存在极值的条件,利用导数判断函数的单调性的方法,注意考虑函数的定义域.】
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【明教】为您解答,
如若满意,请点击【采纳为满意回答】;如若您有不满意之处,请指出,我一定改正!
希望还您一个正确答复!
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f′(x)=ax−4+1/x=(ax²−4x+1)/x(x>0),
①当a<0时,x1·x2=1/a<0,f'(x)=0两根异号,不合题意;【f(x)定义域为(0,+∞)】
②当a=0时,f′(x)=(−4x+1)/x=0,此时x=-1/4,显然不成立;
③当a>0时,x1+x2=4/a>0,x1·x2=1/a>0,可知此时有两正根;
△=16-4a>0,即0<a<4,
此时由f′(x)=0得,x1=[2−√(4−a)]/a,x2=[2+√(4−a)]/a,
由【下表】:
故当0<a<4时,函数f(x)的两个极值点.
【本题考查函数在某点存在极值的条件,利用导数判断函数的单调性的方法,注意考虑函数的定义域.】
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