数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 17:19:50

lim(n->∞) an =a ,求证：lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1,当n>N1时,|an-a| max{ M ,N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε
② 故存在 N = max{ [M] ,N1} ∈Z+
③ 当 n>N 时,
④ 恒有：|(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{本题最简洁的方法是直接套 O'Stoltz 定理即可}
逆命题不成立,如反例 :
an = (-1)^n
lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n = 0 ,但:
an = (-1)^n 发散.

数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A 若an极限为a,证明a1+a2+a3+.+an/n的极限也为a(用极限的定义证明）若{an}的极限是a,证明:{（a1+a2+……+an）/n}的极限也是a. 数列极限题证明,若lim an=a,则lim （a1+a2+a3...+an)/n=a 当n趋近无穷大时,数列an极限为a,证明an绝对值的极限为a的绝对值~ 数列极限证明：设lim(n->∞)an=a,求证lime(n->∞) (a1*a2……an)^(1/n)=a 数列极限证明：设lim(n->∞)an=a,求证lim(n->∞) (a1*a2……an)^(1/n)=a 已知a1=2,a2=2+(1/a1),.a(n+1)=2+(1/an)证明数列{an}收敛,求其极限数列a0,a1>0,a(n+1)=1/a(n)+1/a(n-1),求证数列的极限lim an为根号二关于数列极限的已知数列an满足a1=0 a2=1 an=(an-1+an-2)/2 求lim(n->无穷）an 数列an的极限为a,若a≠0,试用定义证明a（n+1）/an的极限为1 a1=1,a2=2,当n》=3时,有an=an-1+an-2,证明an分之一的极限存在并求出该极限