1、证明对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数!

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 23:56:59

1、证明对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数!
2、设向量组a1,a2,a3线性无关.证明向量组a1+a3,a2+a3,a3也线性无关!

1.高等代数上有个定理：对于任意一个n级实对称矩阵A都存在一个n级正交矩阵T,使T'AT成对角型,而对角线上的元素就是它的特征根.由此,开证,
（1）充分性：当对称矩阵A的特征根都为正数时,对角型矩阵T'AT对角线上的元素均为正数,所以T'AT为正定矩阵,又T为正交阵,所以A是正定阵.
（2）必要性：由于对称矩阵A是正定矩阵,所以存在一个正交矩阵T,使T'AT成对角型的对角线上的元素均为正值,而对角线上的元素又为A的所有特征值,即A的特征值均为正数.
2.用反正法.假设向量组a1+a3,a2+a3,a3线性相关,则存在不全为零的三个数,K1,K2,K3使K1(a1+a3)+K2(a2+a3)+K3a3=0,整理得
K1a1+K2a2+（K1+K2+K3）a3=0,因为K1,K2,K3不全为零,则K1,K2,K1+K2+K3也不全为零,即向量组a1,a2,a3线性相关,与已知矛盾.则假设不成立,命题得证.

1、证明对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数! 证明实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数证明：若A是正定矩阵（A一定是对称矩阵）的充要条件是所有特征值大于0 为什么对称矩阵为正定矩阵的充要条件是所有的特征值都大于0啊? 设A是n阶正定矩阵,AB是n阶实对称矩阵,证明AB正定的充要条件是B的特征值全大于零线性代数实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是它与单位矩阵合同· 实对称矩阵A正定的充要条件是A的伴随矩阵为正定的,为什么? 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件为什么是与单位矩阵合同设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,证明:BTAB为正定矩阵的充要条件是rankB=n A是正规矩阵,证明A为酉矩阵的充要条件是A的特征值的模都是1 一个实对称阵为正定矩阵的充要条件是它合同于一个单位阵,如何证明?对于其他方阵该充要条件吗对称正定矩阵的特征值问题