作业帮怎么证明一个函数黎曼可积?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/03 06:11:31
怎么证明一个函数黎曼可积?
我们老师讲到过可以利用拉格朗日中值定理取一个特殊的黎曼和,然后证明其他任意的黎曼和与这个特殊的黎曼和在最大分割长度趋近于零的时候极限相同,这样做可行吗?理论基础是什么?
我们老师讲到过可以利用拉格朗日中值定理取一个特殊的黎曼和,然后证明其他任意的黎曼和与这个特殊的黎曼和在最大分割长度趋近于零的时候极限相同,这样做可行吗?理论基础是什么?
这样证明按照定义肯定是对的,但应该比较麻烦吧……一般如果要证明一个函数黎曼可积引入函数区间上的振幅概念（就是一个区间上面最大值减去最小值）,然后用达布理论,黎曼可积转化为几个等价条件,比如任给一个δ>0,都能找到一种分割,使得这种分割成的所有区间振幅之和不超过δ,则函数黎曼可积……（还有其他等价条件,这些等价条件证明中比原始定义要快得多,从原始定义去证明这些等价条件似乎要用楼主说的方法,但是一旦证出来以后就直接用这些等价条件）.
最完美的解释黎曼可积的理论还不是达布理论里面的上述等价条件,而是勒贝格测度论诞生以后推出的“终极”等价条件：函数黎曼可积等价于它的间断点集合测度为0.这个可以参考实变函数论的相关书籍.这些定理结论我都记得,只是怎么证出来的有些忘了……
（以上所有“函数”指的都是有界函数,无界函数不可能黎曼可积）
再问： 谢谢你的回答，很精确。我还想问一下定积分存在的柯西收敛原理是怎么证明的？
再答： 不好意思，我太清楚楼主说的定积分存在的柯西收敛原理是哪个。是不是说的广义积分（无穷积分和瑕积分）收敛的判定？那个应该直接可以从积分收敛的定义推出来吧……把广义积分收敛有微积分语言写出来再把积分拆开应该就可以得到。
再问： 恩，我再问你一下，判断黎曼可积的第二充分必要条件怎么理解？我觉得好抽象啊。还有就是你所说的解释黎曼可积最完美的理论可以在实变函数书中找到，能麻烦你帮我找一下吗······我想看一下···太感谢了
再答： 应该黎曼可积的充分必要条件都可以理解为这个函数在区间越来越小的时候函数值波动就会越来越小，这样就在掌控之内。比如狄利克雷函数，不管区间多小，里面都有无理数和有理数，因此波动幅度永远都是1，这样的肯定黎曼不可积。 我说的解决黎曼可积最好的理论就是那句话“黎曼可以等价于函数间断点集是零测集”（当然指有界函数），证明过程可以在实变函数书上找到。楼主是要证明过程吗？这个一两句话说不清，背景理论比较多，大致思路我查了一下书就是定义一个振幅函数（x无限小领域里面f(x)的振幅），然后对这个振幅函数用勒贝格积分，证明振幅函数的勒贝格积分就是达布理论里面的达布上和和达布下和的差……然后用勒贝格积分的定义证明振幅函数勒贝格积分等于0等价于间断点集是零测集，而振幅函数勒贝格积分就是上和和下和的差，因此间断点集是零测集等价于上和和下和差是0，而达布理论就是黎曼可积等价于上和下和差是0，所以间断点是零测集等价于黎曼可积。 （半学期仓促学习实变函数论，基本证明都忘光了，唉……）
再问： 背景理论确实有点多，我们大二会学实变函数的，到时候可以理解得更深刻一点，非常谢谢你的回答。
最完美的解释黎曼可积的理论还不是达布理论里面的上述等价条件,而是勒贝格测度论诞生以后推出的“终极”等价条件：函数黎曼可积等价于它的间断点集合测度为0.这个可以参考实变函数论的相关书籍.这些定理结论我都记得,只是怎么证出来的有些忘了……
（以上所有“函数”指的都是有界函数,无界函数不可能黎曼可积）
再问： 谢谢你的回答，很精确。我还想问一下定积分存在的柯西收敛原理是怎么证明的？
再答： 不好意思，我太清楚楼主说的定积分存在的柯西收敛原理是哪个。是不是说的广义积分（无穷积分和瑕积分）收敛的判定？那个应该直接可以从积分收敛的定义推出来吧……把广义积分收敛有微积分语言写出来再把积分拆开应该就可以得到。
再问： 恩，我再问你一下，判断黎曼可积的第二充分必要条件怎么理解？我觉得好抽象啊。还有就是你所说的解释黎曼可积最完美的理论可以在实变函数书中找到，能麻烦你帮我找一下吗······我想看一下···太感谢了
再答： 应该黎曼可积的充分必要条件都可以理解为这个函数在区间越来越小的时候函数值波动就会越来越小，这样就在掌控之内。比如狄利克雷函数，不管区间多小，里面都有无理数和有理数，因此波动幅度永远都是1，这样的肯定黎曼不可积。 我说的解决黎曼可积最好的理论就是那句话“黎曼可以等价于函数间断点集是零测集”（当然指有界函数），证明过程可以在实变函数书上找到。楼主是要证明过程吗？这个一两句话说不清，背景理论比较多，大致思路我查了一下书就是定义一个振幅函数（x无限小领域里面f(x)的振幅），然后对这个振幅函数用勒贝格积分，证明振幅函数的勒贝格积分就是达布理论里面的达布上和和达布下和的差……然后用勒贝格积分的定义证明振幅函数勒贝格积分等于0等价于间断点集是零测集，而振幅函数勒贝格积分就是上和和下和的差，因此间断点集是零测集等价于上和和下和差是0，而达布理论就是黎曼可积等价于上和下和差是0，所以间断点是零测集等价于黎曼可积。 （半学期仓促学习实变函数论，基本证明都忘光了，唉……）
再问： 背景理论确实有点多，我们大二会学实变函数的，到时候可以理解得更深刻一点，非常谢谢你的回答。