这道题怎么做:f(x)在[0,1]勒贝格可积且有届,是否存在[0,1]上的黎曼可积函数g(x),

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 08:00:41

这道题怎么做:f(x)在[0,1]勒贝格可积且有届,是否存在[0,1]上的黎曼可积函数g(x),
得f(x)与g(x)几乎处处相等,提示用类康托尔集解,可是不会,恳请高手解决

既然你知道类Cantor集,其实不难构造这个反例.
设E是包含于[0,1]并具有正测度的类Cantor集,取f(x)为E的特征函数.
显然f(x)有界,可测,Lebesgue可积.
由E没有内点,易见E中的点都是f(x)的不连续点.
设S = {x∈[0,1] :f(x) ≠ g(x)},由已知m(S) = 0.
以下证明E-S中都是g(x)的不连续点.
任取a ∈ E-S,有g(a) = f(a) = 1.
对任意δ > 0,(a-δ,a+δ)-E是一个非空开集,因此具有正测度,
又m(S) = 0,故m((a-δ,a+δ)-E-S) = m((a-δ,a+δ)-E) > 0,
(a-δ,a+δ)-E-S非空,即存在b满足:|b-a| < δ,g(b) = f(b) = 0.
由δ的任意性,g(x)在a不连续.
最后,由m(E-S) = m(E) > 0,g(x)的不连续点集不是零测集,从而不是Riemann可积的.

这道题怎么做:f(x)在[0,1]勒贝格可积且有届,是否存在[0,1]上的黎曼可积函数g(x), 设f(x),g(x)都是（-∞,+∞）上的可导函数,且f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),f(0)=1,g(0) 设有函数f(x),x>0对任何x和y>0都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(1)的导数存在,证明f(x)在x>0上定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像是连续的,当x不等于0时,f'(x)+f(x)/x>0,则函数g(x)=f( 已知函数f（x）=|x|，g（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）=x（x+1），则方程f（x）+g（x）= f为[0,1]上的可积函数 g(x)=积分f(t)/t dt（上限为1,下限为x）证明在[0,1]上g（x）和f(x) 设函数f(x)在x=1连续,且f(x)/(x-1)的极限存在,求证f(x)在x=1可导. 已知函数f[x]=x的绝对值,g[x]是定义在R上的奇函数,且当x小于0时,g[x]=想[x+1]则方程f[x]+g[x 已知函数f(x),g(x)在R上有定义,对任意的x,y属于R有f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)且f(1) 高中对数函数已知函数f(x)=㏒a(2-ax),是否存在实数a,使函数f(x)在【0,1】上是关于x的减函数,若存在,求定义在R上的函数f x 满足f(x)=x^2,x∈[0,1),x,x∈[-1,0)且f(x+2)=f(x),g(x)=1 高数.若函数f(x)在点X=0处连续,且其极限f(x)/x存在,试问函数f(x)在点X=0处是否可导