（2014•乌鲁木齐二模）已知函数f（x）=x−1lnx．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/08 16:06:41

（2014•乌鲁木齐二模）已知函数f（x）=

x−1

lnx

证明：（Ⅰ）令g（x）=lnx-x+1，则g′（x）=
1−x
x
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，∴函数y=g（x）在0＜x＜1时为增函数，
∴0＜x＜1时，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0；
当x＞1时，g′（x）＜0，∴函数y=g（x）在x＞1时为减函数，
∴x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即lnx-x+1＜0，
则当x＞1时，0＜lnx＜x-1，∴
x−1
lnx＞1，即f（x）＞1； …（5分）
（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2ⁿlna_n≥1
ⅰ）当n=1时，a₁=
e，知2lna1＝2ln
e=1，∴n=1时，命题成立
ⅱ）假设n=k时，命题成立．即2^klna_k≥1
要证明n=k+1时，命题成立．即证明2^k+1lna_k+1≥1，只需证明a_k+1≥e
1
2k+1
依题意知a_k+1=
ak−1
lnak，即证明：
ak−1
lnak≥e
1
2k+1
f′（x）=
−ln
1
x+
1
x−1
(lnx)2
x＞1时，有0＜
1
x＜1，由（Ⅰ）可知ln
1
x-
1
x+1＜0，
∴当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数x＞1时为增函数
由归纳假设2^klna_k≥1，即a_k≥e
1
2k＞1，
∴f（a_k）≥f（e
1
2k）=

（2014•乌鲁木齐二模）已知函数f（x）=x−1lnx．（2014•汕尾二模）已知函数f(x)＝1x+lnx−1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．（2014•商丘二模）已知函数f（x）=lnx-x-ax，a∈R．（2013•威海二模）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]．（2013•和平区二模）已知函数f（x）=lnx+x2-ax．（2014•市中区二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（2014•烟台二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（2012•德阳二模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=k•x−1x+1 （2011•杭州二模）已知函数f(x)＝12x2+(a−3)x+lnx．（2013•莱芜二模）已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．（2014•江西二模）已知函数f（x）=(x−a)2lnx（其中a为常数）．（2012•枣庄二模）已知函数f(x)＝x−ax(a∈R)，g（x）=lnx．