圆满足：截y轴弦长为2,被x轴分为2段弧,弧长比为3：1,圆心到直线x-2y=0距离为5分之根号5

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/02 21:40:25

圆满足：截y轴弦长为2,被x轴分为2段弧,弧长比为3：1,圆心到直线x-2y=0距离为5分之根号5
求圆方程

因为圆心到直线x-2y=0的距离为√5/5
所以圆心所在直线为：x-2y+1=0 或者 x-2y-1=0
(1)、设圆心在x-2y+1=0上
那么圆心坐标为(m,(m+1)/2)
因为圆被x轴分为2段弧,弧长比为3：1
所以圆与x轴交点、圆心所构成的△是等腰直角△
所以半径r=√2*|(m+1)/2|
圆方程为：(x-m)^2+[y-(m+1)/2]^2=(m+1)^2/2
当x=0时,m^2+[y-(m+1)/2]^2=(m+1)^2/2
即:y^2-(m+1)y+(3m^2-2m-1)/4=0
|y1-y2|
=√(y1-y2)^2
=√(y1^2+y2^2-2y1y2)
=√(y1^2+y2^2+2y1y2-4y1y2)
=√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=√[(m+1)^2-3m^2+2m+1]
=√(-2m^2+4m+2)
=2
所以m=1
所以圆方程：(x-1)^2+(y-1)^2=2
与y轴交点(0,0),(0,2)；与x轴交点(0,0),(2,0)
(2)、设圆心在x-2y-1=0上
那么圆心坐标为(m,(m-1)/2)
因为圆被x轴分为2段弧,弧长比为3：1
所以圆与x轴交点、圆心所构成的△是等腰直角△
所以半径r=√2*|(m-1)/2|
圆方程为：(x-m)^2+[y-(m-1)/2]^2=(m-1)^2/2
当x=0时,m^2+[y-(m-1)/2]^2=(m-1)^2/2
即:y^2-(m-1)y+(3m^2+2m-1)/4=0
|y1-y2|
=√(y1-y2)^2
=√(y1^2+y2^2-2y1y2)
=√(y1^2+y2^2+2y1y2-4y1y2)
=√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=√[(m+1)^2-3m^2-2m+1]
=√(-2m^2+2)
=2
所以m^2=-1
无解
综上,圆方程只有唯一(x-1)^2+(y-1)^2=2