作业帮高等数学微积分的题目：一个反常积分,被积函数为e^(-r^2)（e的负r平方次方）对r积分,积分下限是0,上限
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 22:49:43
高等数学微积分的题目：一个反常积分,被积函数为e^(-r^2)（e的负r平方次方）对r积分,积分下限是0,上限
上限是正无穷 我想知道过程 1楼的高手可以把用正态分布做的过程写出来吗？ 详细的 最好有图 追加20分
Φ(x)=∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (-∞,x)
而标准正态分布函数的积分区间取(-∞,+∞)时,函数值为1
即∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (-∞,+∞) =1
又由函数对称性有
∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (0,+∞) =1/2
∫[e^(-t²/2)]dt (0,+∞)=[√(2π)]/2
∫[e^(-t²/2)]dt (0,+∞)=√π/√2
两边同乘1/√2
∫[e^(-t²/2)]d(t/√2) (0,+∞)=√π/2
最后换元 令 r=t/√2
原式
=∫e^(-r²)dr (0,+∞)=√π/ 2
而标准正态分布函数的积分区间取(-∞,+∞)时,函数值为1
即∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (-∞,+∞) =1
又由函数对称性有
∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (0,+∞) =1/2
∫[e^(-t²/2)]dt (0,+∞)=[√(2π)]/2
∫[e^(-t²/2)]dt (0,+∞)=√π/√2
两边同乘1/√2
∫[e^(-t²/2)]d(t/√2) (0,+∞)=√π/2
最后换元 令 r=t/√2
原式
=∫e^(-r²)dr (0,+∞)=√π/ 2
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