积分证明题f(x)在R上连续,证明：若f（x）为奇函数,则积分上限是x积分下限是0的f（x）的定积分是偶函数.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 11:27:22

积分证明题
f(x)在R上连续,证明：
若f（x）为奇函数,则积分上限是x积分下限是0的f（x）的定积分是偶函数.

设所求函数为F(x)= ∫f(t)dt (下限0,上限x)
则F(-x)=∫f(t)dt (下限0,上限-x)
令u=-t
则F(-x)=∫f(-u)*d(-u) (下限仍为0,上限取负则变回x)
而f(x)是奇函数,所以f(-u)=-f(u)
所以F(-x)=∫[-f(u)]*(-1)*du (下限0,上限x)
=∫f(u)du（下限0,上限x）
由此观察出,除了用u替换了t外,F(x)与F(-x)的表达式是完全一样的,且u,t作为被积分的量,它们的意义相同,因此,F(x)=F(-x),F(x)为偶函数,即原∫f(x)dx是偶函数
提醒楼主,∫号后的被积量,例如此题中的∫f(x)dx,这个式子中的x仅仅是一种被积量的表示,它可以任意替换成t,u等任意字母,而只有积分限上的x才是函数的自变量真正的代表,千万不要混淆,建议向我一上来那样把∫f(x)dx换成∫f(t)dt,这样就不容易搞混了

积分证明题f(x)在R上连续,证明：若f（x）为奇函数,则积分上限是x积分下限是0的f（x）的定积分是偶函数. 证明：若f(x)是奇函数,则f(t)dt在0到x上的定积分F(x)是偶函数高数定积分证明题,求证：若f(x)在负无穷到正无穷内连续且为偶函数,则定积分(上限a,下限-a)f(x)dx=2定积分( 设f(x)为连续函数,则定积分上限是1,下限是0,f(x/2)的导数,的定积分等于（） f(x+t)dt积分上限为x,积分下限为a的定积分为一道高数题f(x)在[0,a]上连续,第一问：证明∫（积分上限a 积分下限0）f(x)dx=∫(积分上限a,积分下限0) 若函数f(x)连续,且F(X)的导数等于f(x),求∫f(t+a)dt,其中积分上限是x,积分下限是0, 请教一道积分证明题设f(x)在（-无穷,+无穷）连续,以T为周期,令F（x)=∫f(t)dt(左边的式子上限是x,下限是高数定积分证明题,设g(x)是负无穷到正无穷上连续的正值函数,f(x)=定积分上限c,下限-c,(绝对值x-u)*g(u 求定积分∫x[f(x)+f(-x)]dx,积分上限是a,积分下限是 -a 设f(x)在区间[0.1]上连续,函数F(x)是上限为x下限为0,tf(cost)的定积分,判断F(x)在[-π/2,π 若f(t)是连续函数且为奇函数,证明他的0到x的积分是偶函数.