作业帮如图,已知P为圆O直径AB上任意一点,弦CD过P且与AB交成45°角,求证：PC平方+PD平方为定值
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 14:27:17
如图,已知P为圆O直径AB上任意一点,弦CD过P且与AB交成45°角,求证：PC平方+PD平方为定值
快啊急
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证：作OE⊥CD于E,连接OC
设⊙O半径为R,PA＞PB,OP=a
所以 PA=R+a,PB=R-a
∵⊙O中,弦AB,CD交于点P
∴PA•PB=PC•PD（相交弦定理）
∴PC•PD=(R+a)(R-a)=R^2-a^2
∵Rt△OPE中,∠OPE=45°
∴sin∠OPE=OE/OP=(√2)/2
∴OE=【(√2)/2】a
∵⊙O中,OE⊥CD于E
∴CE=1/2CD（垂径定理）
∴CD^2=4CE^2
∵Rt△OCE中,∠OEC=90°
∴CE^2=OC^2-OE^2=R^2-1/2a^2
∴CD^2=4R^2-2a^2
∴PC^2+PD^2
=(PC+PD)^2-2•PC•PD
=CD^2-2PC•PD
=4R^2-2a^2-2(R^2-a^2)
=2R^2
为定值
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再问： 不好意思这个太复杂了我看不懂，能不能有简单一点的方法，就是初三能接受的知识
再答： 已经修改完了
设⊙O半径为R,PA＞PB,OP=a
所以 PA=R+a,PB=R-a
∵⊙O中,弦AB,CD交于点P
∴PA•PB=PC•PD（相交弦定理）
∴PC•PD=(R+a)(R-a)=R^2-a^2
∵Rt△OPE中,∠OPE=45°
∴sin∠OPE=OE/OP=(√2)/2
∴OE=【(√2)/2】a
∵⊙O中,OE⊥CD于E
∴CE=1/2CD（垂径定理）
∴CD^2=4CE^2
∵Rt△OCE中,∠OEC=90°
∴CE^2=OC^2-OE^2=R^2-1/2a^2
∴CD^2=4R^2-2a^2
∴PC^2+PD^2
=(PC+PD)^2-2•PC•PD
=CD^2-2PC•PD
=4R^2-2a^2-2(R^2-a^2)
=2R^2
为定值
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如图,已知P为圆O直径AB上任意一点,弦CD过P且与AB交成45°角,求证：PC平方+PD平方为定值
如图,AB是圆O的直径,P为AB延长线上任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切圆O于点D,连接CD交AB于点E 求证：P
如图,AB为圆O的直径,CD为一动弦,CD交AB于E,且角AEC=45度,求证CE的平方加ED的平方为定值
如图,AB为圆O的直径,点P为圆O上一点,弦CP交AB于D,且BP²=DP*PC.（1)求证：∠ABC=45°
如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的弦,AB,CD交于点P,且角APC=45度,若圆O的直径为2R,求证PC²
如图 AB为圆O直径 弦CD与AB交于点E P为AB延长线的点 ADC=45度 PD=PE
1.如图,点P为圆O的弦AB上的任意点,连接PO.PC⊥OP,PC交圆于C,求证：PA乘以PB=PC的平方
如图,在圆O中,AB是直径,CD是一条弦,且CD⊥AB,垂足为点P,连接BC,AD,求证：PC的平方=PA*PB
如图,AB是圆O的直径,弦CD交AB于点P,且PC=PO,则弧AC与弧BD之间的关系为：
已知AB是圆的直径,P是AB上一点,且PB平分角CPD,求证PC=PD
已知：如图,以定线段AB为直径作半圆O,P为半圆上任意一点（异于A、B）,过点P作作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线
如图,AB为圆O的直径,P在AB延长线上,D在圆O上,C是PD与圆O交点已知PA=3,PB=13 ,角P=30°,求CD