（2014•奉贤区二模）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/28 06:38:52

（2014•奉贤区二模）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．
（1）判断下列函数：①y=log₂x；②y=sin

（1）①∵log₂2，log₂4，log₂16成等比数列，
∴y=log₂x是等比源函数．
②∵sin
π
2，sin（3•
π
2），sin（5•
π
2）成等比数列，
∴y=sin
π
2x是等比源函数．（4分）
（2）证明：假设存在正整数m，n，k，且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，
（2ⁿ+b）²=（2^m+b）（2^k+b），
整理得2²ⁿ+2b•2ⁿ=2^m+k+b（2^m+2^k），
等式两边同除以2^m，得2^2n-m+2b•2^n-m=2^k+b•2^k-m+b．
∵n-m≥1，k-m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，
∴等式2^2n-m+2b•2^n-m=2^k+b•2^k-m+b不可能成立，
∴假设不成立，说明对任意的正奇数b，函数f（x）=2^x+b不是等比源函数．（10分）
（3）∵任意的d，b∈N^*，都有g（n+1）-g（n）=d，
∴任意的d，b∈N^*，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列．
由g²（m）=g（1）•g（k），（其中1＜m＜k），
得[g（1）+（m-1）d]²=g（1）[g（1）+（k-1）d]，
整理得（m-1）[2g（1）+（m-1）d]=g（1）（k-1），
令m=g（1）+1，则g（1）[2g（1）+g（1）d]=g（1）（k-1），
∴k=2g（1）+g（1）d+1，
∴任意的d，b∈N^*，数列{g（n）}中总存在三项g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]成等比数列．
∴任意的d，b∈N^*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．（18分）

（2014•奉贤区二模）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f （2014•四川二模）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=3f（x），且当x∈[2n，2n+2]，n∈Z时，f（x 设定义在N上的函数f（x）满足f（n）=n+13(n≤2000)f[f(n−18)](n＞2000) 已知函数f（x）（x∈N*）满足：f（1）=2,f（n+1）=3*f（n）/[f（n）+1],画出输入n的值输出f（n）设函数f(x)满足f(n+1)={2f(n)+n}/2,(n∈正整数）,且f(1)=2,那么f(20)=? 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，当n∈N*时，f（n）∈N*，若f[f（n）]=3n，则f（5）的值已知函数f（x）是定义在（0,+∞）上的单调增函数,当n∈N*时,f（n）∈N*,若f[f（n）]=3n,则f（8）= 已知a=根号5-1/2,函数f（x）=a x,若实数mn满足f(m)>f(n),则mn的大小关系为设定义在N上的函数f（n）满足f（n）=n+13， n≤2000f[f(n−18)]，已知函数f（x）=|log3 x|,正函数m,n满足m＜n,且f（m）=f（n）,若f（x）在区间【m/3,n】上的最大对任意实数x、y，函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（x+y）-xy-1，若f（1）=1，则对负整数n，f（n）的表已知定义在N*上的函数f（x）满足f（1）=2,f(x+1)=f(x)+5,则f(100)=