A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 14:14:54

必要性：假设|A|不为0,则n阶矩阵A可逆,AX=0两边同时左乘A逆得X=0,即说明X只有0解,与条件矛盾,故|A|=0
充分性：将A写成列向量的形式,A=[a1,a2,.an],其中ai为A的第i列,
同时X也写成向量形式,X=[x1,x2,...xn]T
则AX=0可表示成
x1a1+x2a2+.xnan=0
因为|A|=0,所以A的秩小于n,所以A的列向量线性相关,故存在不全为0的一组数 x1,x2,.,xn,使得x1a1+x2a2+.xnan=0
所以AX=0有非零解
这道题在线性代数里算比较基础的,建议你多看看书,线性代数好多题证明要用到线性相关的知识
再问：恩恩回答的很好题目中问什么要强调是n 阶矩阵，难道m*n阶矩阵不成立吗？能不能解释下万分感谢！
再答： m*n阶矩阵是不能算行列式的，行列式只有n阶矩阵才能算，请采纳

A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么? 设A为n阶矩阵,证明A^n=0的充要条件是A^(n+1)=0 设A为m×n矩阵,证明AX=Em有解的充要条件是R(A)=m A是一个n阶矩阵,证明A=0的充要条件是A的转置×A=零向量,实对称矩阵A=0的充要条件是A 的平方=0 证明：矩阵A可逆的充要条件是：Ax=b b属于R^n 有唯一解设A是n阶矩阵,证明:非齐次线性方程组AX=b对于任何b都有解的充要条件是|A|不等于0. 设A为N阶矩阵,证明AX=B的有无穷多解的充要条件为B是(详细还是点进来看吧) 设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA. 设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,证明:AB=0的充要条件是B的每个列向量均为齐次线性方程组AX=0的解. A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,X是n*1矩阵,证明AB=O的充要条件是B的每一列都是齐次方程组AX=O的解线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1. 设n阶方阵A不为0.证明有一个n阶非零矩阵B使AB=0的充要条件是|B|=0