作业帮设f(x)=lnx+√x-1,证明：1＜x＜3时f（x）＜9（x-1）/（x＋5）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 14:17:42
设f(x)=lnx+√x-1,证明：1＜x＜3时f（x）＜9（x-1）/（x＋5）
这是辽宁文科2012的21题,不太明白为什么要那么放缩
这是辽宁文科2012的21题,不太明白为什么要那么放缩
引入函数
g（x）
＝f（x）－9（x－1）/（x＋5）＝lnx＋√x－1－9（x－1）/（x＋5）
＝lnx＋√x－1－9［（x＋5）－6］/（x＋5）＝lnx＋√x－10＋54/（x＋5）.
∴g′（x）＝1/x＋1/（2√x）－54/（x＋5）^2＝（4＋2√x）/（4x）－54/（x＋5）^2.
∵x＞1,∴（1－√x）^2＝1－2√x＋x＞0,∴4＋2√x＜x＋5.
∴g′（x）＜（x＋5）/（4x）－54/（x＋5）^2＝［（x＋5）^3－216x］/［4x（2x＋5）^2］.
令h（x）＝（x＋5）^3－216x,则h′（x）＝3（x＋5）^2－216.
∴当1＜x＜3时,h′（x）＜3×（3＋5）^2－216＝3×64－3×72＜0.
∴h（x）在区间（1,3）上是减函数,又h（1）＝（1＋5）^3－216＜0,
∴在区间（1,3）上,h（x）＜0,∴在区间（1,3）上,g′（x）＜0.
∴在区间（1,3）上,g（x）是减函数,又g（1）＝ln1＋√1－1－9（1－1）/（1＋5）＝0,
∴在区间（1,3）上,g（x）＜0,
∴在区间（1,3）上,f（x）－9（x－1）/（x＋5）＜0,
∴在区间（1,3）上,f（x）＜9（x－1）/（x＋5）.
g（x）
＝f（x）－9（x－1）/（x＋5）＝lnx＋√x－1－9（x－1）/（x＋5）
＝lnx＋√x－1－9［（x＋5）－6］/（x＋5）＝lnx＋√x－10＋54/（x＋5）.
∴g′（x）＝1/x＋1/（2√x）－54/（x＋5）^2＝（4＋2√x）/（4x）－54/（x＋5）^2.
∵x＞1,∴（1－√x）^2＝1－2√x＋x＞0,∴4＋2√x＜x＋5.
∴g′（x）＜（x＋5）/（4x）－54/（x＋5）^2＝［（x＋5）^3－216x］/［4x（2x＋5）^2］.
令h（x）＝（x＋5）^3－216x,则h′（x）＝3（x＋5）^2－216.
∴当1＜x＜3时,h′（x）＜3×（3＋5）^2－216＝3×64－3×72＜0.
∴h（x）在区间（1,3）上是减函数,又h（1）＝（1＋5）^3－216＜0,
∴在区间（1,3）上,h（x）＜0,∴在区间（1,3）上,g′（x）＜0.
∴在区间（1,3）上,g（x）是减函数,又g（1）＝ln1＋√1－1－9（1－1）/（1＋5）＝0,
∴在区间（1,3）上,g（x）＜0,
∴在区间（1,3）上,f（x）－9（x－1）/（x＋5）＜0,
∴在区间（1,3）上,f（x）＜9（x－1）/（x＋5）.
设f(x)=lnx+√x-1,证明：1＜x＜3时f（x）＜9（x-1）/（x＋5）
设f（x）=lnx, 证明f（x）+f（x+1）=f{x（x+1）}
设f(x)=lnx+根号x-1证明x>1.f(x)
设f(x)有二阶导数,且f''(X)>0,lim(x趋于0）f(x)/x=1 ..证明：当x>0时,有f(x)>x
证明有界函数设f（x）=2X／1＋X.(0≦X＜+∞) ,证明f（x）有界
设函数f（x）=1/3x-lnx（x＞0）,则y=f（x）
设函数F(X)=X+X/1-a*lnx
已知f(x)=(x+1)lnx-x+1,证明（x+1)f(x)≥0
函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.证明:(x-1)f(x)≥0.
设a>0 f(x)=lnx-ax g(x)=lnx-2(x-1)/(x+1) (1)证明 x>1时 g(x)>0恒成立
设函数f(X)=lnx-1/2ax^2-bx F(x)=f（x)+1/2ax^2+bx+a/x (0＜x≤3） 以其图像
设函数f(x)=lnx-x+a,x∈(0,2].(1)求f(x)的单调区间（2）若不等式f（x）＜a²-3