作业帮已知函数f(x)=lnx(x>0),证明对一切x>0,有f(x)>1/e^x - 2/ex (e为自然对数的底数)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 01:11:45
已知函数f(x)=lnx(x>0),证明对一切x>0,有f(x)>1/e^x - 2/ex (e为自然对数的底数)
即是证明 lnx+2/(ex)>1/(e^x)恒成立
令f(x)= lnx+2/(ex),y(x)=1/(e^x) (0,+∞)
y(x)'=-1/(e^x)
对f(x)求导,并令f(x)'≥0：
f(x)'=1/x -2/(ex^2)=(ex-2)/(ex^2)≥0
解得：
增区间为：[2/e,+∞)
减区间为：(0,2/e]
故：f(x)min=f(2/e)=ln2
y(2/e)=1/[e^(2/e)]≈0.479y(a)
又因为在该区间上,limx~0[f(x)]=+∞>limx~0[y(x)]=1
故可得到在x~[2/e,+∞)上,也有：
f(x)= lnx+2/(ex)>y(x)=1/(e^x)
因此综上可得：
在x~(0,+∞)上,恒有lnx+2/(ex)>1/(e^x),即是恒有lnx>1/(e^x)-2/ex
原式得证
令f(x)= lnx+2/(ex),y(x)=1/(e^x) (0,+∞)
y(x)'=-1/(e^x)
对f(x)求导,并令f(x)'≥0：
f(x)'=1/x -2/(ex^2)=(ex-2)/(ex^2)≥0
解得：
增区间为：[2/e,+∞)
减区间为：(0,2/e]
故：f(x)min=f(2/e)=ln2
y(2/e)=1/[e^(2/e)]≈0.479y(a)
又因为在该区间上,limx~0[f(x)]=+∞>limx~0[y(x)]=1
故可得到在x~[2/e,+∞)上,也有：
f(x)= lnx+2/(ex)>y(x)=1/(e^x)
因此综上可得：
在x~(0,+∞)上,恒有lnx+2/(ex)>1/(e^x),即是恒有lnx>1/(e^x)-2/ex
原式得证
已知函数f(x)=lnx(x>0),证明对一切x>0,有f(x)>1/e^x - 2/ex (e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=-x²+2ex+t-1 ,g(x)=x+e²/x (x＞0,e表示自然对数的底数）
已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）
已知函数f(x)=lnx/x,g(x)=ax3-2aex2+2ex,其中e为自然对数的底数
已知函数f（x）=（2x+1）ex（e为自然对数的底数）
已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．
已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
已知函数f(x)=ax^2+x/e-lnx(其中a为常数,e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=(1-a/x)e^x(x>0)(其中e为自然对数的底数)
已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）
已知函数f(x)=-e^x,g(x)=lnx,e为自然对数的底数求证:方程f(x)=g(x)有唯一实数根
已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)