作业帮高中数学-----------------数列与不等式结合的题目
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 04:34:26
高中数学-----------------数列与不等式结合的题目
数列{an}满足A1=1/2,A(n+1)=1/(2-An)
(1)求an通项公式
(2)若bn=1/an－1,｛bn｝的前n次和为Bn,若存在整数m,对任意n∈N+且n≥2都有B3n－Bn＞m/20成立,求m的最大值.
(3)求证：Σ[1－ai/a（i+1）][1/√a(i+1)]＜2（√2－1）（Σ上面是n,下面是i=1)
------------------------------------------------------------
(2)m最大值为18
(1),(3)是证明
打错了------------------第一问的答案是an=n/(n+1)
数列{an}满足A1=1/2,A(n+1)=1/(2-An)
(1)求an通项公式
(2)若bn=1/an－1,｛bn｝的前n次和为Bn,若存在整数m,对任意n∈N+且n≥2都有B3n－Bn＞m/20成立,求m的最大值.
(3)求证：Σ[1－ai/a（i+1）][1/√a(i+1)]＜2（√2－1）（Σ上面是n,下面是i=1)
------------------------------------------------------------
(2)m最大值为18
(1),(3)是证明
打错了------------------第一问的答案是an=n/(n+1)
A(n+1)=1/(2-An)可以用特征根发求通项公式,实在不会的话就用数学归纳法.
本题对应的特征方程为x(2-x)=1所以x=1
所以an=1+1/Cn其中Cn=-2-(n-1)=-n-1所以an=n/(n+1)
bn=1/n第二问比较简单
设Dn=B3n－Bn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+·····+1/(n+2n)
所以Dn+1=B3(n+1)－Bn+1=1/(n+2)+1/(n+3)+·····+1/(n+1+2n+2)
所以Dn+1-Dn=1/(n+1+2n)+1/(n+1+2n+1)+1/(n+1+2n+2)-1/(n+1)
=1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)-3/(3n+3)
=1/(3n+1)+1/(3n+2)-2/(3n+3)>0
所以Dn+1>Dn即Dn递增,所以D1=B3－B1=1/2+1/3=5/6最小
对任意n∈N+且n≥2都有B3n－Bn＞m/20成立
所以5/6>m/20即m
再问： 第二问方法我懂了，但n≥2,最小值不是B3－B1
再答： n≥2,最小值是D2没注意看范围，不好意思
本题对应的特征方程为x(2-x)=1所以x=1
所以an=1+1/Cn其中Cn=-2-(n-1)=-n-1所以an=n/(n+1)
bn=1/n第二问比较简单
设Dn=B3n－Bn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+·····+1/(n+2n)
所以Dn+1=B3(n+1)－Bn+1=1/(n+2)+1/(n+3)+·····+1/(n+1+2n+2)
所以Dn+1-Dn=1/(n+1+2n)+1/(n+1+2n+1)+1/(n+1+2n+2)-1/(n+1)
=1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)-3/(3n+3)
=1/(3n+1)+1/(3n+2)-2/(3n+3)>0
所以Dn+1>Dn即Dn递增,所以D1=B3－B1=1/2+1/3=5/6最小
对任意n∈N+且n≥2都有B3n－Bn＞m/20成立
所以5/6>m/20即m
再问： 第二问方法我懂了，但n≥2,最小值不是B3－B1
再答： n≥2,最小值是D2没注意看范围，不好意思