作业帮已知函数f（x）=log2x1−x．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/01 22:24:30
已知函数f（x）=log2
| x |
| 1−x |
（Ⅰ）由
x
1−x＞0得 x（1-x）＞0，解得 0＜x＜1，∴函数的定义域为 （0，1）．
（Ⅱ）证明：任取x1、x2∈（0，1）且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)＝log2
x1
1−x1−log2
x2
1−x2
=log2(
x1
1−x1•
1−x2
x2)＝log2(
x1
x2•
1−x2
1−x1)．
∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜1，∴0＜
x1
x2＜1且 0＜
1−x2
1−x1＜1，
即 0＜
x1
x2•
1−x2
1−x1＜1，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）是增函数．
x
1−x＞0得 x（1-x）＞0，解得 0＜x＜1，∴函数的定义域为 （0，1）．
（Ⅱ）证明：任取x1、x2∈（0，1）且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)＝log2
x1
1−x1−log2
x2
1−x2
=log2(
x1
1−x1•
1−x2
x2)＝log2(
x1
x2•
1−x2
1−x1)．
∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜1，∴0＜
x1
x2＜1且 0＜
1−x2
1−x1＜1，
即 0＜
x1
x2•
1−x2
1−x1＜1，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）是增函数．