R为K阶Hermite阵,A为M×K阶阵,其秩为K,设R的特征值为a1,a2.ak(都不为0)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 10:24:28

R为K阶Hermite阵,A为M×K阶阵,其秩为K,设R的特征值为a1,a2.ak(都不为0)
那么ARA(H)的特征值是不是 a1,a2.ak,0 ,0.0呢?(H)是上标,代表共轭转置.
因为根据我的证明 ARA(H)=ATdiag(a1,a2,...ak) T (H)A (H) =U1 diag(a1,a2,...ak) U1(H) = ( U1 U2 ) diag(a1,a2,...ak,0,0...0) ( U1 U2 ) (H) 与 U1 相对应的特征值就是 a1,a2.ak
但是我仿真结果却和我想的不同,仿真出来 ARA(H)的非零特征值并不是 a1,a2,...ak 请问哪里出了问题?

结论要想成立,必须A是类似酉矩阵的那样的矩阵,也就是满足A(H)A=E是单位阵才行.
一般的矩阵A,ARA(H)特征值自然是改变了.
想想实数的时候,ARA(H)就是合同变换,合同变换只是不改变特征值的符号,但改变
特征值的大小.
再问：您好，但是麻烦您看我的证明哪一步出了错呢？
再答：第二个等号：U1=AT吧，U1不能张成一个标准正交基。还是上面我说的，必须A满足A(H)A=E，AT=U1才能张成标准正交基，也就是下一步的（U1，U2）才是酉阵。 ARA(H)=UDU(H)这种写法不是表示对角阵的对角元一定是特征值，必须 U是酉阵才行。
再问： U1=AT吧，U1不能张成一个标准正交基。这个我感觉有问题吧，A是列满秩，T是酉矩阵， U1必然是列满秩的，这样和 U2可以张成整个M维空间的吧？
再答：说了，必须是标准正交基，不是一般的基就可以。标准正交基指的是每个向量都是单位向量，且两两之间是正交（几何上就是垂直）的。一般的基做不到这一点。
再问：不好意思，我比较笨。 ARA(H)=UDU(H)这种写法不是表示对角阵的对角元一定是特征值，必须 U是酉阵才行。照您的意思是，一个矩阵(可以酉对角化)对角化的时候，如果特征向量构成的矩阵不是酉阵，那对角元素就不是特征值？这点真的让我很难想象因为我们在对可酉对角化矩阵对角化时，不是都先求的特征值和特征向量，然后把特征向量正交化得到酉矩阵么？
再答：如果特征向量构成的矩阵不是酉阵？你都假设是特征向量了，对应的当然是特征值了。建议你去看看线性代数的书，书上都写得明明白白的。当然书上的一般都是实矩阵的形式。重新写一下：只要是UDU(H)（实矩阵是UDU^T，U^T是U的转置）这种形式的，必须U是酉阵（实的时候是正交阵），对角阵的对角元才是特征值，否则不是。当然，还有另外一种形式，UDU^(--1)，其中U^(-1)是U的逆矩阵，这时候对角阵D的对角元是特征值。你把这两种形式弄混了。只要是UDU(H)的，必须保证U(H)=U^(--1)，也就是U是酉阵才行。
再问：谢谢您顺道搭个顺车，再请教个问题已知一组正交基的部分元素，如何求得整个基？

R为K阶Hermite阵,A为M×K阶阵,其秩为K,设R的特征值为a1,a2.ak(都不为0) 线性空间证明R为K阶Hermite阵,A为M×K阶阵,其秩为K,列向量两两正交S=ARA(H) (H)是上标,代表共轭转 a1,a2,a3.ak为 k个忽不相同的正整数a1+a2+a3+.ak=1997,k的最大值为 a1,a2...ak为K个不相同的正整数,且a1+a2+..ak=2005,则K的最大值为设A为m*n矩阵,B为k*n矩阵,且r(A)+r(B) 设等差数列｛an｝的公差为d不为0,a1＝9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k＝ 2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,对应特征向量分别为a1=(1,1)T,a2=(1,K)T,则K= 设an=4n-1,由bk=(a1+a2+a3+.ak)/k(k属于N+)确定的数列bn的前n项和为_____ 设ak=2^k/(3^2^k+1),k为自然数,令A=a1+a2+a3+…+a9,B=a0*a1*a2*…a9,则A/B 设a1=3的平方-1平方 a2=5的平方-3的平方.ak=(2k+1)的平方-(2k-1)的平方（k为大于0的自然数) 设a1=3的平方-1平方 a2=5的平方-3的平方.ak=(2k+1)的平方-(2k-1)的平方（k为大于0的自然数)1 设a1=3的平方-1平方 a2=5的平方-3的平方.ak=(2k+1)的平方-(2k-1)的平方（k为大于0的自然数).