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如图正四面体ABCD,E为棱BC上的动点,则 异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 11:59:01
如图正四面体ABCD,E为棱BC上的动点,则 异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______．
作EF//BD,交CD于F. 连接AF.
知AE =AF.
则角AEF即为BD与AE所成的角.
设BC=a, BE = x.
则AE^2 = a^2 + x^2 - 2* a* x*cos60度= a^2 + x^2 - ax. (余弦定理)
EF= EC = a-x.
在三角形AEF中用余弦定理:
cos角AEF= AE^2 +EF^2 -AF^2]/[2*AE*EF]= EF/[2*AE] = (1/2)*(a-x)/根号(a^2 +x^2 -ax)
= (1/2)根号{(a-x)^2/[(a-x)^2 +ax]}=(1/2)根号{1/[1+ax/(a-x)^2 ]}
容易证明:函数y= ax/(a-x)^2 在区间(0,a)单调增加.从而cos角AEF单调减少
作EF//BD,交CD于F. 连接AF.
知AE =AF.
则角AEF即为BD与AE所成的角.
设BC=a, BE = x.
则AE^2 = a^2 + x^2 - 2* a* x*cos60度= a^2 + x^2 - ax. (余弦定理)
EF= EC = a-x.
在三角形AEF中用余弦定理:
cos角AEF= AE^2 +EF^2 -AF^2]/[2*AE*EF]= EF/[2*AE] = (1/2)*(a-x)/根号(a^2 +x^2 -ax)
为分析,将其写为:
= (1/2)根号{(a-x)^2/[(a-x)^2 +ax]}=(1/2)根号{1/[1+ax/(a-x)^2 ]}
容易证明:函数y= ax/(a-x)^2 ,在区间(0, a), y' = a(a+x)/(a-x)^3 >0
在区间(0,a)单调增加.从而cos角AEF单调减少.
故知:cos角AEF取值范围为: [0, 1/2] (x=0,在B点最大, x-a 在C点最小)
如图正四面体ABCD,E为棱BC上的动点,则 异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为 _______． 正四面体A-BCD（四个面都是等边三角形的三棱锥）中，E为BC中点，求异面直线AE与BD所成角的余弦值． 在正四面体ABCD中,已知E是棱BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值. 正四面体p-ABC中,E是BC中点,异面直线AE与PC所成的角的余弦值为 已知正四面体ABCD中,AE=1/4AB,CF=1/4CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为多少? 已知正四面体ABCD中,E是AB的中点.则异面直线CE与BD所成角的余弦值为? 在棱长都为2的四面体ABCD中,E是AD中点,F是BC中点.求异面直线BE和CD所成角的余弦值AF与CE所成角余弦值 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 __ 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为35 已知正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f分别为bb1,cc1的中点,那么异面直线ae与d1f所成角的余弦值为多少 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为______． 在正四面体ABCD中,E为AD的中点,则直线AB与CE所成角的余弦值为