二次函数y=16（x+23）2的图象的顶点为A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 07:37:45

二次函数y=

（1）二次函数y=
1
6（x+2
3）²的图象的顶点A（-2
3，0），与y轴的交点B（0，2），
设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
可求得 k=

3
3，b=2．所以直线AB的表达式为y=

3
3x+2．
可得∠BAO=30°，∵∠BAC=60°，
∴∠CAO=90°．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．点C（-2
3，4）．

（2）∵点C、M都在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，
∴CM∥AB．
设直线CM的表达式为y=

3
3x+m，点C（-2
3，4）在直线CM上，
可得 m=6．
∴直线CM的表达式为y=

3
3x+6．
可得点M的坐标：（-5
3，1）．
（3）由C（-2
3，4）、M（-5
3，1）可得：
CM=
(−2
3+5
3)2+(4−1)2=6．
①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN=
CN2−CA2=
72−42=
33；
∴ON=AN+OA=
33+2
3或ON=AN-OA=
33-2
3
即：点N的坐标为：（-
33-2
3，0）、（
33-2
3，0）．
②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2
3或ON=OA-AN=2
3-3
即：点N的坐标为：（-3-2
3，0），（3-2
3，0）．
综上可知：
点N的坐标（-3-2
3，0），（3-2
3，0），（-