如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 17:54:51
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC中点,AO交BD于E.
(1)求证:PA⊥BD
(2)求直线PD与平面PAO所成角的正弦值
(1)求证:PA⊥BD
(2)求直线PD与平面PAO所成角的正弦值
证明:
1)
RT△ABO和RT△BCD中:
∠ABO=∠BCD=90°
tan∠BAO=BO/AB=(BC/2)/AB=(AB/2)/AB=1/2
tan∠CBD=CD/BC=1/2=tan∠BAO
∠BAO=∠CBD
所以:RT△ABO∽RT△BCD(角角)
因为:∠CBD+∠DBA=90°
所以:∠BAO+∠DBA=90°
所以:∠AEB=90°
所以:BD⊥AO………………(1)
等腰三角形PBC中,点O是底边BC上的中点
所以:PO是BC边上的中垂线
所以:PO⊥BC
因为:平面PBC⊥平面ABCD
所以:PO⊥平面ABCD
所以:PO⊥BD………………(2)
由(1)和(2)知道:BD⊥平面PAO
所以:PA⊥BD
2)
连接PE,则PE是PD在平面PAO上的投影线
所以:∠DPE是DP与平面PAO所成的夹角
因为:BD⊥平面PAO
所以:BD⊥PE
所以:sin∠DPE=DE/PD
与上述1)中类似,可以证明RT△BEO∽RT△BCD
BO/BD=EO/CD=BE/BC
BO=BC/2=1,BD=√(1^2+2^2)=√5,CD=1
解得:EO=√5/5,BE=2√5/5
所以:DE=BD-BE=3√5/5
等腰三角形PBC中:PB=PC=BC=2,为正三角形,PO=√3
RT△POE中:PE=√(PO^2+EO^2)=√(3+1/5)=4√5/5
RT△PED中:PD=√(PE^2+DE^2)=√(16/5+9/5)=√5
所以:sin∠DPE=DE/PD=(3√5/5)/√5=3/5
所以:直线PD与平面PAO所成角的正弦值为3/5
1)
RT△ABO和RT△BCD中:
∠ABO=∠BCD=90°
tan∠BAO=BO/AB=(BC/2)/AB=(AB/2)/AB=1/2
tan∠CBD=CD/BC=1/2=tan∠BAO
∠BAO=∠CBD
所以:RT△ABO∽RT△BCD(角角)
因为:∠CBD+∠DBA=90°
所以:∠BAO+∠DBA=90°
所以:∠AEB=90°
所以:BD⊥AO………………(1)
等腰三角形PBC中,点O是底边BC上的中点
所以:PO是BC边上的中垂线
所以:PO⊥BC
因为:平面PBC⊥平面ABCD
所以:PO⊥平面ABCD
所以:PO⊥BD………………(2)
由(1)和(2)知道:BD⊥平面PAO
所以:PA⊥BD
2)
连接PE,则PE是PD在平面PAO上的投影线
所以:∠DPE是DP与平面PAO所成的夹角
因为:BD⊥平面PAO
所以:BD⊥PE
所以:sin∠DPE=DE/PD
与上述1)中类似,可以证明RT△BEO∽RT△BCD
BO/BD=EO/CD=BE/BC
BO=BC/2=1,BD=√(1^2+2^2)=√5,CD=1
解得:EO=√5/5,BE=2√5/5
所以:DE=BD-BE=3√5/5
等腰三角形PBC中:PB=PC=BC=2,为正三角形,PO=√3
RT△POE中:PE=√(PO^2+EO^2)=√(3+1/5)=4√5/5
RT△PED中:PD=√(PE^2+DE^2)=√(16/5+9/5)=√5
所以:sin∠DPE=DE/PD=(3√5/5)/√5=3/5
所以:直线PD与平面PAO所成角的正弦值为3/5
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC
如图:已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°AB=BC=PB=PC=2CDC,侧面PBC⊥底
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面AB
已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面AB
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,
如图,四棱锥P-ABCD的地面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=2,BC=根号2,CD=1,PC⊥底面ABC
急已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90度,AB=BC=PB=
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,且PA=PB=PC=AB=6,CD=2,BC
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形AB平行CD ∠ABC=90 AB=2BC=2CD=2,PA=PD,PB=PC
四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面SBC⊥底面AB