函数几何类.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边在x轴和y轴上,OA=8√2cm,OC=8cm,现在有两动点P、

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 09:01:06

函数几何类.
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边在x轴和y轴上,OA=8√2cm,OC=8cm,现在有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒√2cm,的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动,谁运动时间为t秒.
问：当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线y=1/4x²+bx+c经过P、P两点,过线段BP上一动点m做y轴平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.

（1）∵CQ=t,OP= t,CO=8,
∴OQ=8-t
∴S△OPQ= 1/2*(8-t)*√2*t
=-√2/2*t^2+4√2*t（0＜t＜8）；
（2）∵S四边形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ
=8*√2-1/2*8√2*t-1/2*8*（8√2-√2*t)
=32
∴四边形OPBQ的面积为一个定值,且等于32
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,△QPB必须是一个直角三角形,
依题意只能是∠QPB=90°,
又∵BQ与AO不平行,
∴∠QPO不可能等于∠PQB,∠APB不可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP
∴ (8-t)/(8√2-√2*t)=√2*t/8,
解得：t=4,
经检验：t=4是方程的解且符合题意；（从边长关系和速度考虑）
此时P（ 4√2,0）；
∵B（ 8√2,8）且抛物线y=x^2/4+bx+c 经过B、P两点,
∴抛物线是y=x^2/4-2√2*x+8 ,直线BP是：y=√2*x-8
设M（m,√2*m-8 ）、N（m,m^2/4-2√2*m+8 ）
∵M在BP上运动,
∴4√2