如图,在平面直角坐标系中等腰直角△AOB的斜边OB在X轴上,直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 02:13:07

如图1,在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A,交y轴于C点,双曲线y= k/x（x＞0）也恰好经过点A．
（1）求k的值；
（2）如图2,过O点作OD⊥AC于D点,求CD²-AD²的值；
（3）如图3,点P为x轴上一动点．在（1）中的双曲线上是否存在一点Q,使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．若存在,求出点P、点Q的坐标,若不存在,请说明理由．
分析：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点,AN⊥x轴于N点．由于△AOB是等腰直角三角形,得出AM=AN,即点A的横坐标与纵坐标相等．设点A的坐标为（a,a）,又点A在直线y=3x-4上,列出关于a的方程,求出a的值,进而得到k的值；
（2）由（1）知点A的坐标为（2,2）,根据勾股定理得出AO²=AM²+MO²=8．由点C为直线y=3x-4与y轴的交点,得出OC²=16．根据勾股定理及等式的性质得出CD²-AD²=OC²-OA²=8；
（3）如果过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点,连接AQ,过A点作AP⊥AQ交x轴于P点．由ASA易证△AOP≌△ABQ,得出AP=AQ,那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根据全等三角形的性质及函数图象与点的坐标的关系得出结果．
（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点,AN⊥x轴于N点,△AOB是等腰直角三角形,
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a,a）,点A在直线y=3x-4上,
∴a=3a-4,
解得a=2,
则点A的坐标为（2,2）．
设此反比例函数的解析式为y= x/k．将点A（2,2）代入,
求得k=4．
则反比例函数的解析式为y= 4/x．
（2）点A的坐标为（2,2）,在Rt△AMO中,AO²=AM²+MO²=4+4=8．
∵直线AC的解析式为y=3x-4,则点C的坐标为（0,-4）,OC=4．
在Rt△COD中,OC²=OD²+CD²（1）；
在Rt△AOD中,AO²=AD²+OD²（2）；
（1）-（2）,得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．
（3）双曲线上是存在一点Q（4,1）,使得△PAQ是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点,连接AQ,过A点作AP⊥AQ交x轴于P点,则△APQ为所求作的等腰直角三角形．
在△AOP与△ABQ中,∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB,
∴∠OAP=∠BAQ,
AO=BA,∠AOP=∠ABQ=45°,
∴△AOP≌△ABQ（ASA）,
∴AP=AQ,
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4,0）,点Q在双曲线y= 4/x上,
∴Q（4,1）,则OP=BQ=1．
则点P、Q的坐标分别为（1,0）、（4,1）．