作业帮【函数与方程思想】10（请尽快解答,步骤请尽量详尽） (13日 19:44:14)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/30 16:00:05
【函数与方程思想】10（请尽快解答,步骤请尽量详尽） (13日 19:44:14)
设f(x)是定义在区间（-oo,3]上的减函数,并且已知f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对于x属于R恒成立,求实数a的取值范围.
设f(x)是定义在区间（-oo,3]上的减函数,并且已知f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对于x属于R恒成立,求实数a的取值范围.
减函数,所以：a+1+cos2x≤a^2-sinx≤3
①对于左边那不等式有：
a+1+1-2(sinx)^2+sinx-a^2≤0即：
2(sinx)^2-sinx+a^2-a-2≥0
令t=sinx,则t∈[-1,1]
再设f(t)=2t^2-t+a^2-a-2,所以f(t)在t∈[-1,1]恒大于等于0.
由于f(t)开口向上,且对称轴为t=1/4
所以f(t)在t∈[-1,1]恒大于等于0需要满足：
Δ=1-4×2(a^2-a-2)≤0,解得:
a≥(2+√38)/4或a≤(2-√38)/4
②对于右边不等式：
a^2-sinx≤3,即a^2-3≤sinx恒成立
所以:a^2-3≤-1解得：
-√2≤a≤√2
由①②得：-√2≤a≤(2-√38)/4
①对于左边那不等式有：
a+1+1-2(sinx)^2+sinx-a^2≤0即：
2(sinx)^2-sinx+a^2-a-2≥0
令t=sinx,则t∈[-1,1]
再设f(t)=2t^2-t+a^2-a-2,所以f(t)在t∈[-1,1]恒大于等于0.
由于f(t)开口向上,且对称轴为t=1/4
所以f(t)在t∈[-1,1]恒大于等于0需要满足：
Δ=1-4×2(a^2-a-2)≤0,解得:
a≥(2+√38)/4或a≤(2-√38)/4
②对于右边不等式：
a^2-sinx≤3,即a^2-3≤sinx恒成立
所以:a^2-3≤-1解得：
-√2≤a≤√2
由①②得：-√2≤a≤(2-√38)/4