如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 16:19:34

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,
且PA=PD=（根号2/2）AD,设E,F分别为PC,BD的中点.
求：二面角B-PD-C的正切值.

解析：∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD
过P作PG⊥AD
∴PG⊥底面ABCD
∵PA=PD=（根号2/2）AD,E,F分别为PC,BD的中点
∴PA=PD=√2/2a
建立以G为原点,以GA方向为X轴,以AB方向为Y轴,以GP方向为Z轴正方向的空间直角坐标系G-xyz
则点坐标：G(0,0,0),A(a/2,0,0),B(a/2,a,0),C(-a/2,a,0),D(-a/2,0,0),P(0,0,a/2),E(-a/4,a/2,a/4),F(0,a/2,0)
向量DP=(a/2,0,a/4),向量DC=(0,a,0),向量DB=(a,a,0)
设向量m=(x,y,z)是面PDB的一个法向量
向量m*向量DB=ax+ay=0
向量m*向量DP=a/2x+a/4z=0
令x=1,则y=-1,z=-2
∴向量m=(1,-1,-2)==>|向量m|=√6

设向量n=(x,y,z)是面PDC的一个法向量
向量n*向量DC=ay=0
向量n*向量DP=a/2x+a/4z=0
令x=1,则y=0,z=-2
∴向量n=(1,0,-2)==>|向量n|=√5
向量m*向量n=5
Cos=(向量m*向量n)/(|向量m|*|向量n|)=5/(√5*√6)=√30/6
∴二面角B-PD-C的正切值√5/5