求曲线根号下x+根号下y=1在[0,1]上的弧长.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 18:39:19
求曲线根号下x+根号下y=1在[0,1]上的弧长.
√x+√y=1,显然x和y的范围都是0到1
即y=(1-√x)^2,
那么y'=2(1-√x)* (-0.5/√x)=1/√x -1
所以曲线的弧长等于
L=∫(上限1,下限0) √(1+y'²) dx
=∫(上限1,下限0) √[1+(1/√x -1)²] dx
=∫(上限1,下限0) √(1/x- 2/√x +2) dx 令√x=t,代入得到
=∫(上限1,下限0) √(1/t² - 2/t +2) d(t²)
=∫(上限1,下限0) 2√(1- 2t +2t²) dt
=∫(t的上限1,下限0) √2 *√ [(√2t-√2/2)²+1/2] d(√2t- √2/2)
由基本积分公式∫√(x²+a²)dx=(x/2)*√(x²+a²)+ (a²/2)*ln|x+√(x²+a²)|+C
可以知道
∫√2 *√ [(√2t-√2/2)²+1/2] d(√2t- √2/2) 在这里a²=1/2
=√2 * [1/2 * (√2t-√2/2)* √(1- 2t +2t²) +1/4 *ln|√2t- √2/2 +√(1- 2t +2t²)| ]+C
代入t的上下限1和0,
得到
原定积分
=√2 * { [√2/4+1/4*ln(1+√2/2)] - [-√2/4+1/4*ln(1-√2/2)] }
=1+ √2/4 *[ln(1+√2/2) - ln(1-√2/2)]
=1+ (1/2√2)* ln[(1+√2/2)/(1-√2/2)]
=1+ (1/2√2)* ln[(√2+1)/(√2-1)]
就是你给的答案
解题过程不难,但比较复杂,细心做就好啊
即y=(1-√x)^2,
那么y'=2(1-√x)* (-0.5/√x)=1/√x -1
所以曲线的弧长等于
L=∫(上限1,下限0) √(1+y'²) dx
=∫(上限1,下限0) √[1+(1/√x -1)²] dx
=∫(上限1,下限0) √(1/x- 2/√x +2) dx 令√x=t,代入得到
=∫(上限1,下限0) √(1/t² - 2/t +2) d(t²)
=∫(上限1,下限0) 2√(1- 2t +2t²) dt
=∫(t的上限1,下限0) √2 *√ [(√2t-√2/2)²+1/2] d(√2t- √2/2)
由基本积分公式∫√(x²+a²)dx=(x/2)*√(x²+a²)+ (a²/2)*ln|x+√(x²+a²)|+C
可以知道
∫√2 *√ [(√2t-√2/2)²+1/2] d(√2t- √2/2) 在这里a²=1/2
=√2 * [1/2 * (√2t-√2/2)* √(1- 2t +2t²) +1/4 *ln|√2t- √2/2 +√(1- 2t +2t²)| ]+C
代入t的上下限1和0,
得到
原定积分
=√2 * { [√2/4+1/4*ln(1+√2/2)] - [-√2/4+1/4*ln(1-√2/2)] }
=1+ √2/4 *[ln(1+√2/2) - ln(1-√2/2)]
=1+ (1/2√2)* ln[(1+√2/2)/(1-√2/2)]
=1+ (1/2√2)* ln[(√2+1)/(√2-1)]
就是你给的答案
解题过程不难,但比较复杂,细心做就好啊
求曲线根号下x+根号下y=1在[0,1]上的弧长.
求曲线y=1/x与曲线y=根号下x的交点坐标,并分别求出两曲线在交点处的切线的斜率
曲线y=∫(0,x)根号(e^2t-1)dt在[0,1]上的弧长
求过点(-1,0)且与曲线y=根号下x相切直线方程.
已知三次根号下x+三次根号下y=-7,求三次根号-1+4三次根号下-x+4三次根号下-y的值
已知x+根号下2y=根号下3,y+根号下2x=根号下3,且x≠y,求1/根号下x+1/根号下y的值
高中函数求值域求y=根号下(x)+根号下(1-x)的值域
求函数y=根号下(1+x)+根号下(1-x)的值域.
求函数y=(根号下x+1)-(根号下x-1)的值域
求函数y=根号下x-1乘根号下x+1的定义域
求y=根号下(x+1)-根号下X的最大值
求函数y=根号下1-x+根号下4+2x的最大值