已知定义在(0,1)上的函数f(x)=(2^x)/(4^x+1)求证:函数f(x)在(0,1)上是单调递减
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 05:31:59
已知定义在(0,1)上的函数f(x)=(2^x)/(4^x+1)求证:函数f(x)在(0,1)上是单调递减
设0<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=2^(x2)/[4^(x2)+1]-2^(x1)/[4^(x1)+1]
=[2^(x2)×4^(x1)+2^(x2)-2^(x1)×4^(x2)-2^(x1)]/﹛[4^(x2)+1]×[4^(x1)+1]﹜
=﹛[2^(x2)×4^(x1)-2^(x1)×4^(x2)]+[2^(x2)-2^(x1)]﹜/﹛[4^(x2)+1]×[4^(x1)+1]﹜
=﹛[1-2^(x1x2)[2^(x2)-2^(x1)]﹜/﹛[4^(x2)+1]×[4^(x1)+1]﹜
∵0<x1<x2<1 ∴1<2^(x1)<2^(x2)<2
∴2<2^(x1x2)=2^(x1)+2^(x2)<4 ∴1-2^(x1x2)<0
∴f(x2)-f(x1)=﹛[1-2^(x1x2)[2^(x2)-2^(x1)]﹜/﹛[4^(x2)+1]×[4^(x1)+1]﹜<0
∴f(x2)<f(x1)
∴函数f(x)在(0,1)上是单调递减
f(x2)-f(x1)=2^(x2)/[4^(x2)+1]-2^(x1)/[4^(x1)+1]
=[2^(x2)×4^(x1)+2^(x2)-2^(x1)×4^(x2)-2^(x1)]/﹛[4^(x2)+1]×[4^(x1)+1]﹜
=﹛[2^(x2)×4^(x1)-2^(x1)×4^(x2)]+[2^(x2)-2^(x1)]﹜/﹛[4^(x2)+1]×[4^(x1)+1]﹜
=﹛[1-2^(x1x2)[2^(x2)-2^(x1)]﹜/﹛[4^(x2)+1]×[4^(x1)+1]﹜
∵0<x1<x2<1 ∴1<2^(x1)<2^(x2)<2
∴2<2^(x1x2)=2^(x1)+2^(x2)<4 ∴1-2^(x1x2)<0
∴f(x2)-f(x1)=﹛[1-2^(x1x2)[2^(x2)-2^(x1)]﹜/﹛[4^(x2)+1]×[4^(x1)+1]﹜<0
∴f(x2)<f(x1)
∴函数f(x)在(0,1)上是单调递减
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函数f(x)在[0,+无穷大)上单调递减,则f[根号(1-x^2)]的单调递减区间为?
已知函数f(x)是定义在R+上的单调递减函数,且f(x)>1/x²,请给出一个满足条件的函数.