常微分y'+4y+y*y=0和dy/dx=x*x*x*y*y*y-x*y的解
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/25 17:30:09
常微分y'+4y+y*y=0和dy/dx=x*x*x*y*y*y-x*y的解
分别是两个题,朋友帮下忙,谢谢😊
朋友们会的帮帮忙,
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(1)显然,y=0是原方程的解
当y≠0时,
∵y'+4y+y^2=0
==>dy/dx=-y(y+4)
==>dy/(y(y+4))=-dx
==>[1/(y+4)-1/y]dy=4dx
==>ln│y+4│-ln│y│=4x+ln│C│ (C是常数)
==>ln│(y+4)/y│=4x+ln│C│
==>(y+4)/y=Ce^(4x)
==>y=Cye^(4x)-4
∴y=Cye^(4x)-4是原方程的解
故原方程的通解是y=0和y=Cye^(4x)-4.
(2)显然,y=0是原方程的解
当y≠0时,
令z=1/y^2,则y'=-y^3z'/2
代入原方程,化简得 z'-2xz=-2x^3.(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程通解公式,得方程(1)的通解是
z=Ce^(x^2)+x^2+1 (C是常数)
==>1/y^2=Ce^(x^2)+x^2+1
==>(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1
则(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1是原方程的解
故原方程的通解是y=0和(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1.
当y≠0时,
∵y'+4y+y^2=0
==>dy/dx=-y(y+4)
==>dy/(y(y+4))=-dx
==>[1/(y+4)-1/y]dy=4dx
==>ln│y+4│-ln│y│=4x+ln│C│ (C是常数)
==>ln│(y+4)/y│=4x+ln│C│
==>(y+4)/y=Ce^(4x)
==>y=Cye^(4x)-4
∴y=Cye^(4x)-4是原方程的解
故原方程的通解是y=0和y=Cye^(4x)-4.
(2)显然,y=0是原方程的解
当y≠0时,
令z=1/y^2,则y'=-y^3z'/2
代入原方程,化简得 z'-2xz=-2x^3.(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程通解公式,得方程(1)的通解是
z=Ce^(x^2)+x^2+1 (C是常数)
==>1/y^2=Ce^(x^2)+x^2+1
==>(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1
则(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1是原方程的解
故原方程的通解是y=0和(Ce^(x^2)+x^2+1)y^2=1.
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