作业帮常微分方程 解dy/dx + y - x^2=0
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 06:02:36
常微分方程 解dy/dx + y - x^2=0
y'+y=x²
这是一阶线性微分方程,设u=u(x),使方程左边=d(uy)/dx
uy'+uy=x²
则由于乘法法则
u'=du/dx=u
分离变量积分
du/u=dx
u=e^x
(ye^x)'=x²e^x
ye^x=∫x²e^xdx
等式右边用分部积分法=x²e^x-∫xe^xdx=x²e^x-xe^x+∫e^xdx=x²e^x-xe^x+e^x+C
y=x²-x+1+Ce^(-x)
再问： 非常感谢，能不能再帮我解下这个，就是变成二阶(dy/dx )^2 + y - x^2=0
再答： 二阶线性常系数的通解=齐次方程通解+非齐次方程特解 对于它的齐次方程，也就是y''+y=0 设y=e^(ax) 得到特征方程a^2+1=0 a=i（正或负） 这里用欧拉方程e^(ix)=cosx+isinx 分别取实数部和虚数部的线性组合作为齐次方程通解 y(齐次通解)=C1*cosx+C2*sinx 然后有两种方法，一是常数变易法，C1=C1(x)，C2=C2(x)代入原方程求出。 我用第二种方法：由于等式右边是x^2，二次项 则设y=ax²+bx+c（a与上面不同） 代入 2a+ax²+bx+c=x² 得到a=1,b=0,c=-2 y(非齐次特解)=x²-2 y(微分方程通解)=C1*cosx+C2*sinx+x²-2
这是一阶线性微分方程,设u=u(x),使方程左边=d(uy)/dx
uy'+uy=x²
则由于乘法法则
u'=du/dx=u
分离变量积分
du/u=dx
u=e^x
(ye^x)'=x²e^x
ye^x=∫x²e^xdx
等式右边用分部积分法=x²e^x-∫xe^xdx=x²e^x-xe^x+∫e^xdx=x²e^x-xe^x+e^x+C
y=x²-x+1+Ce^(-x)
再问： 非常感谢，能不能再帮我解下这个，就是变成二阶(dy/dx )^2 + y - x^2=0
再答： 二阶线性常系数的通解=齐次方程通解+非齐次方程特解 对于它的齐次方程，也就是y''+y=0 设y=e^(ax) 得到特征方程a^2+1=0 a=i（正或负） 这里用欧拉方程e^(ix)=cosx+isinx 分别取实数部和虚数部的线性组合作为齐次方程通解 y(齐次通解)=C1*cosx+C2*sinx 然后有两种方法，一是常数变易法，C1=C1(x)，C2=C2(x)代入原方程求出。 我用第二种方法：由于等式右边是x^2，二次项 则设y=ax²+bx+c（a与上面不同） 代入 2a+ax²+bx+c=x² 得到a=1,b=0,c=-2 y(非齐次特解)=x²-2 y(微分方程通解)=C1*cosx+C2*sinx+x²-2