线性代数设x12+x22+…+xn2=1.证明二次型f（x1,x2,…,xn）=x,Ax的最小值为矩阵A的最小特征值.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 07:48:25

楼主命题有误,必须加上A为正规矩阵,即A' * A = A * A',本命题才成立.
反例：
令A = [1 1;
0 1]
x = [0.6;-0.8]'为长度为1的向量.
则：norm(x)^2 = x1^2 + x2^2 = 1.
二次型 f(x) = x' * A * x = 0.52 < A的最小特征值1.
再问：

原题就是这样的，那么，请问，如果加上A是正定矩阵的话，这道题要怎么解呢
再答：正定不正定无所谓，只要是正规矩阵就行。正规矩阵A满足A' * A = A * A'，其中'表示共轭转置，在实域范围内的话，'只表示转置。实域中的正交和对称阵都是正规矩阵。如果A是正规矩阵，则证明如下： 1. 正规矩阵与合同于对角阵互成充分必要条件，即A正规 Q' * A * Q = D，Q为正交阵，D为对角阵且包含A的所有特征值d1,d2,...,dn，令d1

线性代数设x12+x22+…+xn2=1.证明二次型f（x1,x2,…,xn）=x,Ax的最小值为矩阵A的最小特征值. 设x1^2+x2^2+…+xn^2=1.证明二次型f(x1,x2,…,xn)=x^TAx的最大值为矩阵A的最大特征值如果x1，x2是方程x2-ax+a+3=0（a为实数）的两个实数根，则x12+x22的最小值为（　　）设x1,x2是关于x的方程x2-2kx+1-k2=0（k是实数）的两个实根,求x12+x22的最小值. 设n阶矩阵A的特征值为x1,x2,……xn.证明其和为a11+a22+……+ann 一个样本M的数据是x1,x2,,xn,它的平均数是5,另一个样本M的数据x12,x22,,xn2它的平均数是34 m*n矩阵A的秩为r 求二次型f(x1,x2,…xn)=xT(AT A)的规范型 1、求一个正交变换,将二次型f（x1,x2）=11x12+24x1x2+4x22化成标准形,并写出所有正交变换的矩阵已知二次型f(x1,x2,x3)=X^AX的矩阵A的三个特征值为5,-1,3,则二次型通过正交线性替换X=UY化得标准型设A为n阶正定矩阵,x=(x1,x2,x3,.xn)T,证明：f(x)=| A x |为负定矩阵.| xT 0 | 设x1,x2为方程4x2-4mx+m+2的两个根,求x12+x22的最小值设x1，x2是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为______．

线性代数 设x12+x22+…+xn2=1.证明二次型f（x1,x2,…,xn）=x,Ax的最小值为矩阵A的最小特征值.

线性代数设x12+x22+…+xn2=1.证明二次型f（x1,x2,…,xn）=x,Ax的最小值为矩阵A的最小特征值.