已知椭圆E x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为F1,F2,已知椭圆E上任意一点P,满足向

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 15:17:07

已知椭圆E x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为F1,F2,已知椭圆E上任意一点P,满足向量PF1乘以向量PF2大于或等于a^2/2,过F1作垂直于椭圆长轴的弦长为3.
1、求椭圆E的方程
2、若过F1的直线交椭圆于A、B两点,求向量F2A乘以向量F2B的取值范围

设P(acosθ,bsinθ),则向量PF1=(-c-acosθ,-bsinθ),向量PF2=(c-acosθ,-bsinθ),
向量PF1*向量PF2=a²cos²θ-c²+b²sin²θ=(a²-b²)cos²θ+b²-c²≥b²-c²
又因为向量PF1*向量PF2≥a²/2,所以a²/2=b²-c² ①,
又过F1作垂直于椭圆长轴的弦长为2b²/a=3,即2b²=3a ②,且c²=a²-b² ③,
解由①②③联立的方程组,得a=2,b=√3,c=1,
所以椭圆E的方程是x²/4+y²/3=1.
当直线AB的斜率存在时,设过F1(-1,0)的直线方程为y=k(x+1),
代入椭圆方程,得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k²/(3+4k²),x1x2=(4k²-12)/(3+4k²),
y1y2=k²(x1+1)(x2+1)=-9k²/(3+4k²),因F2(1,0),
向量F2A*向量F2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(7k²-9)/(3+4k²)=7/4-57/[4(4k²+3)]∈[-3,7/4),
当k不存在时,A(-1,3/2),B(-1,-3/2),
则向量F2A*向量F2B=(-2)*(-2)+(3/2)*(-3/2)=4-9/4=7/4,
综上,向量F2A*向量F2B的取值范围是[-3,7/4].

已知椭圆E x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为F1,F2,已知椭圆E上任意一点P,满足向设椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,已知椭圆E上的任意一点P,满足向量设椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左右两个焦点分别为F1 F2,已知椭圆E上的任意一点P,满足设椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2.已知E上任意一点P满足向量PF1 一道高中椭圆题已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得P 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>c>0)的左右焦点分别为F1.F2,过椭圆上一点P作圆F2：（x-c 已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率e=1/2,P1为椭圆上一点满足F1F 椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,P为椭圆C上任意一点,已 1.已知椭圆x^2/2+y^2=1的左右焦点分别为F1,F2,椭圆的下顶点为A,点P是椭圆上任意一点,圆M是以PF2为直已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点p(3,4),F1、F2为椭圆的两个焦点,且满足PF1⊥P 1.已知点p(4,4),椭圆E x^2/18+y^2/2=1 椭圆上点A(3,1) F1,F2分别是椭圆的左右焦点,Q为已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,如果在椭圆上存在一点M（x,y