已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 10:51:17

已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心
AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）
A.1/3
B.√2/3
C.√3/3
D.2/3

令△ABC的中心为O,连CO并延长交AB于D,过B1作B1E⊥AB交AB的延长线于E,再过B1作B1F⊥平面ABC交平面ABC于F.
设AB＝a.
∵AB＝AC＝BC＝a,O是△ABC的中心,∴CD⊥AD、AD＝BD＝a/2,∴CD＝√3a/2.
显然有：DO＝CD/3＝√3a/6.
∵O是A1在平面ABC上的射影,∴A1O⊥平面ABC,∴AD⊥A1O,又AD⊥CD、CD∩A1O＝O,
∴AD⊥平面A1DC,∴AD⊥A1D.
由AA1＝a、AD＝a/2、AD⊥A1D,得：A1D＝√（AA1^2－AD^2）＝√（a^2－a^2/4）＝√3a/2.
∵A1O⊥平面ABC,∴A1O⊥DO.
由A1D＝√3a/2、DO＝√3a/6、A1O⊥DO,得：
A1O＝√（AD^2－DO^2）＝√（3a^2/4－3a^2/36）＝√6/3.
∵A1D⊥AB、B1E⊥AB,∴A1D∥B1E.
∵ABC－A1B1C1是三棱柱,∴A1B1∥AB.
由A1D∥B1E、A1B1∥AB,得：A1DEB1是平行四边形,∴B1E＝A1D＝√3a/2、DE＝A1B1＝a.
显然,有：AE＝AD＋DE＝a/2＋a＝3a/2.
∴AB1＝√（AE^2＋B1E^2）＝√（9a^2/4＋3a^2/4）＝√3a.
∵A1O⊥平面ABC、B1F⊥平面ABC,∴A1O∥B1F,∴A1、B1、F、O共面.
∵ABC－A1B1C1是三棱柱,∴A1B1∥平面ABC,而平面ABC∩平面A1B1FO＝OF,
∴A1B1∥OF.
由A1O∥B1F、A1B1∥OF,得：A1B1FO是平行四边形,∴B1F＝A1O＝√6a/3.
∵B1F⊥平面ABC,∴B1F⊥AF.
由AB1＝√3a、B1F＝√6/3、B1F⊥AF,得：sin∠B1AF＝B1F/AB1＝（√6a/3）/（√3a）＝√2/3.
∴本题的答案是B.