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设f(x)在(0,+∞)上有定义,且f'(1)=a(a≠0) ,又对任意x,y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 03:20:00
设f(x)在(0,+∞)上有定义,且f'(1)=a(a≠0) ,又对任意x,y∈(0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)
∵f(x)在(0,+∞)上有定义,对任意x,y属于(0,+∞)有 :
f(xy)=f(x)+f(y)
∴由函数性质可知:
对数函数的定义域为(0,+∞),对任意x,y属于(0,+∞)都有 f(xy)=f(x)+f(y)成立
∴f(x)为对数函数
设f(x)=log(b,x)(以b为底·,x的对数)
∵f '(1)=a(a不等于0)
又F’(x)=1/(xlnb)
∴ F’(1)=1/(lnb)=a,即:
alnb=1
解得:b=e^(1/a)【e的1/a次方】
∴f(x)=log(e^(1/a),x),【以e^(1/a)为底,x的对数】