已知圆C（x+根号3）^2+y^2=16,点A（根号3,0）Q是圆上一动点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,设M的轨迹方程

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 11:03:15

已知圆C（x+根号3）^2+y^2=16,点A（根号3,0）Q是圆上一动点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,设M的轨迹方程为E
求E的方程.急!
过点P（1，0）的直线L交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB的面积是4/5,求直线AB的方程

∵AQ的垂直平分线交CQ于点M
∴|MA|=|MQ|
∴|MA|+|MC|=|MQ|+|MC|=|CQ|=R=4
根据椭圆定义：平面上到两定点的距离之和为常值(2a)的点之轨迹
∴E为椭圆
2a=4,c=√3
∴b²=a²-c²=1
∴E：x²/4 + y²=1
再问：过点P（1，0）的直线L交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB的面积是4/5,求直线AB的方程
再答： ①当L斜率不存在时，即L：x=1，S△AOB=√3/2，不满足 ②当L斜率存在时，设L：y=k(x-1)，A(x1，y1)、B(x2，y2) 联立直线、椭圆得： (4k²+1)x²-8k²x+4k²-4=0 x1+x2=8k²/(4k²+1)，x1x2=(4k²-4)/(4k²+1) y1-y2=k(x1-1)-k(x2-1)=k(x1-x2) |AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²] =√[(x1-x2)²+k²(x1-x2)²] =√(1+k²)·√(x1-x2)² O到直线L的距离 d=|k|/√(1+k²) (点到直线距离公式) ∴S△AOB=d·|AB|/2=4/5 即√(1+k²)·√(x1-x2)² ·|k|/√(1+k²)=8/5 即|k|√(x1-x2)²=8/5 k²(x1-x2)²=64/25 k²[(x1+x2)²-4x1x2]=64/25 k²(x1+x2)²-4k²x1x2=64/25 k²[8k²/(4k²+1)]²-4k²(4k²-4)/(4k²+1)=64/25 k²=1 (k²=-4/11舍) ∴k=±1 ∴L：y=±(x-1)