作业帮高代证明题设f(x)是数域P上的n次多项式,试给出f'(x)|f(x)的充要条件
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 11:47:09
高代证明题
设f(x)是数域P上的n次多项式,试给出f'(x)|f(x)的充要条件
设f(x)是数域P上的n次多项式,试给出f'(x)|f(x)的充要条件
当且仅当f(x) = a(x+b)^n.
证明：充分性显然,必要性：我们考察f(x)的分裂域E,对于任意α∈E使得f(α) = 0,我们有f(x) = (x-α)^kg(x),这里(x-α)不整除g(x).由f'(x) = (x-α)^(k-1)[(x-α)g'(x) - g(x)]我们知道,α在f'(x)中的重数为k-1,因此若deg(g(x)) > 1,我们有deg(f'(x)) = k_1 - 1 + k_2 - 1 +...+ k_m - 1 = n - m < n - 1矛盾!所以f(x) = (x-α)^n.
有疑问,（也可以不用分裂域的思想,用唯一分解性也可以,只不过叙述更麻烦一点）
再问： 你好，主要的也问题就是你的证明方法我们都没听过，我们就是北大版的高等代数，还有其他的证明方法么？谢谢你
再答： 由域上的多项式环唯一分解可知：f(x) = p1(x)^k1p2(x)^k2...pm(x)^km，所以f'(x) = p1(x)^(k1-1)[p1(x)g'(x) - g(x)]p1'(x)，所以p1(x)在f'(x)中的重数为k1-1，类似的pi(x)的重数为ki-1，由于f'(x)|f(x)所以f'(x)的因子只能是f(x)的因子，但k1 - 1 + ... km - 1 = n - m < n - 1，所以m = 1。再由归纳法得到p1(x)也满足条件即可。
证明：充分性显然,必要性：我们考察f(x)的分裂域E,对于任意α∈E使得f(α) = 0,我们有f(x) = (x-α)^kg(x),这里(x-α)不整除g(x).由f'(x) = (x-α)^(k-1)[(x-α)g'(x) - g(x)]我们知道,α在f'(x)中的重数为k-1,因此若deg(g(x)) > 1,我们有deg(f'(x)) = k_1 - 1 + k_2 - 1 +...+ k_m - 1 = n - m < n - 1矛盾!所以f(x) = (x-α)^n.
有疑问,（也可以不用分裂域的思想,用唯一分解性也可以,只不过叙述更麻烦一点）
再问： 你好，主要的也问题就是你的证明方法我们都没听过，我们就是北大版的高等代数，还有其他的证明方法么？谢谢你
再答： 由域上的多项式环唯一分解可知：f(x) = p1(x)^k1p2(x)^k2...pm(x)^km，所以f'(x) = p1(x)^(k1-1)[p1(x)g'(x) - g(x)]p1'(x)，所以p1(x)在f'(x)中的重数为k1-1，类似的pi(x)的重数为ki-1，由于f'(x)|f(x)所以f'(x)的因子只能是f(x)的因子，但k1 - 1 + ... km - 1 = n - m < n - 1，所以m = 1。再由归纳法得到p1(x)也满足条件即可。
高代证明题设f(x)是数域P上的n次多项式,试给出f'(x)|f(x)的充要条件
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