n是自然数,当n趋于无穷大时,求[n·tan(1/n)]^(n^2)的极限

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 05:11:44

n是自然数,当n趋于无穷大时,求[n·tan(1/n)]^(n^2)的极限
james_miao的详细解答，但正确答案确实是e^(1/3)...

为了计算方便,令x=1/n,则n趋于无穷时,x趋于0,原式变形为求（tanx/x)^(1/x^2)的极限
而原式=lim e^[(1/x^2)*ln(tanx/x)]
这样,我们只需要求出x趋于0时,指数部分[(1/x^2)*ln(tanx/x)]的极限即可
观察ln(tanx/x)/(x^2),属0/0型,运用洛比达法则
lim ln(tanx/x)/(x^2)=lim [x*(secx)^2-tanx]/[2tanx*(x^2)],
0/0型,洛比达
lim [x*(secx)^2-tanx]/[2tanx*(x^2)]=lim [x*tanx*(secx)^2]/[2xtanx+x^2*(secx)^2]
分子分母同时除以x*(secx)^2,得
原式=lim [tanx]/[sin2x+x]
=lim [（secx）^2]/[2cos2x+1](洛比达)
=1/3
即x趋于0时,[(1/x^2)*ln(tanx/x)]的极限为1/3,lim e^[(1/x^2)*ln(tanx/x)]=e^(1/3)
所以当n趋于无穷大时,[n·tan(1/n)]^(n^2)的极限为e^(1/3)
……不知道有没手误打错了,

n是自然数,当n趋于无穷大时,求[n·tan(1/n)]^(n^2)的极限 lim[1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+、、、1/(n+n)]当n趋于无穷大时的极限? 当n趋于无穷大时:（2n+1/3n+1) ^n 的极限是多少?是零还是什么~ 求(1^n+2^n+3^n)^1/n,n趋于无穷大的极限 (n/(n+1))^n,当n趋于无穷大时的极限. 求极限:当n趋于无穷大时求√(n+√(n+√n))-√n的极限 n趋于无穷大时,求(n+1)/(n!开n次方)的极限. 如何求当N趋于无穷大时N的N分之一的极限求n趋于无穷大时[1*2+2*3+...+n*(n+1)]/n的三次方的极限高数：洛必达法则求：n趋于无穷大时,n^2[arctan a/n - arctan a/(n+1)] 的极限 lim[n/(n*n+1*1)+n/(n*n+2*2)+...+n/(n*n+n*n)],当x趋向无穷大时,怎么求极限, 求lim n趋于无穷大((n+1)(n+2)(n+3)) / 5n的三次方的极限