作业帮要制作一个容积为96πm3的圆柱形水池，已知池底的造价为30元/m2，池子侧面造价为20元/m2．如果不计其他费用，问如
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 10:02:18
要制作一个容积为96πm3的圆柱形水池，已知池底的造价为30元/m2，池子侧面造价为20元/m2．如果不计其他费用，问如何设计，才能使建造水池的成本最低？最低成本是多少？
设池底半径为r，池高为h，成本为y，则：
96π=πr2h⇒h=
96
r2 …（2分）
y=30πr2+20×2πrh=10πr（3r+4h）=30π（r2+
128
r） …（4分）
y'=30π（2r-
128
r2） …（5分）
令y'=30π（2r-
128
r2）=0，得r=4，h=6 …（6分）
又r＜4时，y'＜0，y=30π（r2+
128
r）是减函数； …（7分）
r＞4时，y'＞0，y=30π（r2+
128
r）是增函数； …（8分）
所以r=4时，y=30π（r2+
128
r）的值最小，最小值为1440π…（9分）
答：当池底半径为4米，桶高为6米时，成本最低，最低成本为1440π元．…（10分）
96π=πr2h⇒h=
96
r2 …（2分）
y=30πr2+20×2πrh=10πr（3r+4h）=30π（r2+
128
r） …（4分）
y'=30π（2r-
128
r2） …（5分）
令y'=30π（2r-
128
r2）=0，得r=4，h=6 …（6分）
又r＜4时，y'＜0，y=30π（r2+
128
r）是减函数； …（7分）
r＞4时，y'＞0，y=30π（r2+
128
r）是增函数； …（8分）
所以r=4时，y=30π（r2+
128
r）的值最小，最小值为1440π…（9分）
答：当池底半径为4米，桶高为6米时，成本最低，最低成本为1440π元．…（10分）
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