设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 03:43:57

首先,由A正定,存在正定矩阵C使A = C².这个用可对角化证明:
由A为实对称阵,存在正交阵T使T^(-1)AT为对角阵.
又A正定,故T^(-1)AT的对角线上均为正数(特征值 > 0).
故存在对角线上均为正数的对角阵D,使T^(-1)AT = D² (取对角元的算术平方根即可).
取C = TDT^(-1),由T是正交阵,可知C是对称阵,又C与D相似,故C正定.
且C² = TDT^(-1)·TDT^(-1) = TD²T^(-1) = A.
于是A+B = C²+B = C(E+C^(-1)BC^(-1))C.
记G = C^(-1)BC^(-1).
取行列式得det(A+B) = det(C)·det(E+G)·det(C) = det(E+G)·det(C²) = det(E+G)·det(A).
由det(A) > 0,只需证明det(E+G) ≥ 1.
由G = C^(-1)BC^(-1),而C^(-1),B都是实对称阵,可知G' = C'^(-1)B'C'^(-1) = G.
G也是实对称阵且与B合同 (G = (C^(-1))'BC^(-1)).
由B半正定知G半正定,即G的特征值均非负,于是E+G的特征值均 ≥ 1.
行列式等于全体特征值的乘积,故det(E+G) ≥ 1.
再问：题目只说是正定，没有说是对称。这样证可以吗？
再答：线性代数或者高等代数里的正定阵默认是对称的. 也有非对称的正定概念: X'AX > 0对任意X ≠ 0. 但是此时是有反例的: A = [1,3;-3,1], B = [1,-2;2,1]都是正定的. 而det(A) = 10, det(A+B) = 5. 另外上面忘说了. 若B = 0, 等号成立. 若B ≠ 0, B有正特征值, 从而G也有正特征值. E+G有大于1的特征值, 且所有特征值都不小于1, 从而det(E+G) > 1. 于是det(A+B) > det(A).

设A,B都是n阶实矩阵,其中A正定,B半正定.证明：det(A+B)>det(A) 已知:A为n阶实正定对称矩阵,B为n阶反实对称矩阵证:det(A+B)> 0 设实矩阵A,B都是正定矩阵,证明A+B也是正定矩阵. 设A,B均是n阶正定矩阵,证明A+B是正定矩阵设A,B均是n阶实对称矩阵,且A是正定矩阵,B是半正定矩阵,证明|A+B|＞|B| 设A,B都是正定矩阵.证明:A+B也是正定矩阵. 设A,B均为n阶正定矩阵,证明kA+lB也是正定矩阵,其中k,l为正数设A、B均为N阶实对称正定矩阵,证明：如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆阵正定. 证明：A,B均为N阶正定矩阵,则A+B也为正定矩阵设A、B都是n阶正交矩阵,并且已知detA+detB=0,证明：det（A+B)=0 设AB均是n阶实对称矩阵,其中A正定,证明存在实数t使tA+B是正定矩阵设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵