作业帮已知函数f(x)=ax2+bx+lnx,曲线y=f(x)在点A
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 01:40:31
已知函数f(x)=ax2+bx+lnx,曲线y=f(x)在点A
已知函数f(x)=ax^2+bx+lnx,曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为x+y+1=0
（1）求f（x）的解析式
（2）过点B（1,m）做曲线y=f（x）的切线,若切线有两条,求m的取值范围
已知函数f(x)=ax^2+bx+lnx,曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为x+y+1=0
（1）求f（x）的解析式
（2）过点B（1,m）做曲线y=f（x）的切线,若切线有两条,求m的取值范围
(1)f'(x)=2ax+b+1/x.
在直线x+y+1=0中,若x=1,则y=-2,即f(1)=a+b=-2.
直线x+y+1=0的斜率是-1,则f'(1)=2a+b+1=-1.
解得：a=0、b=-2,f(x)=-2x+lnx.
(2)设切点为(t,-2t+lnt),则切线斜率为(-2t+lnt-m)/(t-1).
而切线斜率又为f'(t)=-2+1/t.
所以,(-2t+lnt-m)/(t-1)=-2+1/t,即tlnt-(m+3)t+1=0.
设g(t)=tlnt-(m+3)t+1,由题意知,g(t)有两个零点.
g'(t)=lnt-m-2>0,则t>e^(m+2).
所以,g(t)的极小值(也是最小值)为g[e^(m+2)]=(m+2)e^(m+2)-(m+3)e^(m+2)+1=1-e^(m+2).
若函数g(t)有两个零点,则最小值1-e^(m+2)-2.
所以,m的取值范围是(-2,+无穷).
在直线x+y+1=0中,若x=1,则y=-2,即f(1)=a+b=-2.
直线x+y+1=0的斜率是-1,则f'(1)=2a+b+1=-1.
解得：a=0、b=-2,f(x)=-2x+lnx.
(2)设切点为(t,-2t+lnt),则切线斜率为(-2t+lnt-m)/(t-1).
而切线斜率又为f'(t)=-2+1/t.
所以,(-2t+lnt-m)/(t-1)=-2+1/t,即tlnt-(m+3)t+1=0.
设g(t)=tlnt-(m+3)t+1,由题意知,g(t)有两个零点.
g'(t)=lnt-m-2>0,则t>e^(m+2).
所以,g(t)的极小值(也是最小值)为g[e^(m+2)]=(m+2)e^(m+2)-(m+3)e^(m+2)+1=1-e^(m+2).
若函数g(t)有两个零点,则最小值1-e^(m+2)-2.
所以,m的取值范围是(-2,+无穷).
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