在关于x的一元二次方程a(1-x2)-2根号2bx+c(1+x2)0中,a.b.c为Rt△ABC三边,∠c=90°,求证

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 09:06:00

在关于x的一元二次方程a(1-x2)-2根号2bx+c(1+x2)0中,a.b.c为Rt△ABC三边,∠c=90°,求证此方程必有不相
两个实数根.（2）若两个方程根为X1,X2,且X12+X22=12,求a:b:c

(1)
a.b.c为Rt△ABC三边,∠c=90°,所以:
a^2+b^2=c^2
将方程a(1-x2)-2(根号2)bx+c(1+x2)=0化为一般形式：
(c-a)x^2-2(根号2)bx+(c+a)=0
△=B^2-4AC=[-2(根号2)b]^2-4(c-a)(c+a)
=8b^2-4c^2+4a^2=8b^2-4(a^2+b^2)+4a^2=4b^2
b为直角三角形ABC的一个直角边,所以b≠0
所以△=4b^2＞0
所以方程必有不相等的两个实数根
(2)
由韦达定理：
x1+x2=[2(根号2)b]/(c-a)
x1x2=(c-1)/(c-a)
x1^2+x2^2=12
（x1+x2)^2-2x1x2=12
{[2(根号2)b]/(c-a)}^2-2(c+a)/(c-a)=12
8b^2-2(c+a)(c-a)=12(c-a)^2
5a^2-4b^2+7c^2-12ac=0
将b^2=c^2-a^2代入上式得：
5a^2-4(c^2-a^2)+7c^2-12ac=0
9a^2+3c^2-12ac=0
3a^2-4ac+c^2=0
(a-c)(3a-c)=0
a=c或a=c/3
a=c不符合直角三角形c^=a^2+b^2的条件
所以a=c/3
所以b=根号[c^2-a^2]=根号[c^2-(c/3)^2]=[(2根号2)/3]c
所以a:b:c=(1/3):[(2根号2)/3]:1