作业帮定积分计算:积分限是[0,1],被积函数是 ln(1+x)/(1+x^2),求该定积分.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 14:59:49
定积分计算:积分限是[0,1],被积函数是 ln(1+x)/(1+x^2),求该定积分.
这是汤家凤2013考研数学暑期强化·高等数学辅导讲义上P50的一道题,算了很久,我的思路是分部积分,也考虑了对称等性质想简便计算,但是实在想不出,感觉分部积分更靠谱一些.还望路过的大神不吝赐教～
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设x=tant. t∈[0, π/4].
则 ∫ ln(1+x)/(1+x^2) dx.
=∫ ln(1+tant)/ (1+tant ^2) *sect^2 dt.
=∫ ln(1+tant) dt.
=∫ ln(sint+tant)-ln(cost) dt.
=∫ ln(√2 *(sin(t+π/4)))-ln(cost) dt.
=∫ 1/2 *ln2+ln(sin(t+π/4))-ln(cost) dt.(t从0->π/4).
=π*ln2/8+∫ ln(sint) dt (t从π/2->π/4) -∫ ln(sint) dt (t从π/2->π/4).
=π*ln2/8.
则 ∫ ln(1+x)/(1+x^2) dx.
=∫ ln(1+tant)/ (1+tant ^2) *sect^2 dt.
=∫ ln(1+tant) dt.
=∫ ln(sint+tant)-ln(cost) dt.
=∫ ln(√2 *(sin(t+π/4)))-ln(cost) dt.
=∫ 1/2 *ln2+ln(sin(t+π/4))-ln(cost) dt.(t从0->π/4).
=π*ln2/8+∫ ln(sint) dt (t从π/2->π/4) -∫ ln(sint) dt (t从π/2->π/4).
=π*ln2/8.
定积分计算:积分限是[0,1],被积函数是 ln(1+x)/(1+x^2),求该定积分.
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