证明：函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像是中心对称图形

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 15:45:36

只需证明存在t∈R,使得对任意的x∈R,都有f(t+x)+f(t-x)=2*f(t)
先求出三次函数f(x)=a*x³+b*x²+c*x+d的拐点（凹凸分界点）
f’(x)=3*a*x²+2*b*x+c
f’’(x)=6*a*x+2b,令f’’(x)=0,x=-b/(3*a)
令t=-b/(3*a),易知(t,f(t))为函数f(x)的拐点
f(t+x)+f(t-x)=[a*(t+x)³+b*(t+x)²+c*(t+x)+d]+[a*(t-x)³+b*(t-x)²+c*(t-x)+d]
=a*[(t+x)³+(t-x)³]+b*[(t+x)²+(t-x)²]+c*[(t+x)+(t-x)]+2*d
=a*[(t+x)+(t-x)]*[(t+x)²- (t+x)*(t-x)+(t-x)²]+b*(2*t²+2*x²)+c*2*t+2*d
=a*(2*t)*(t²+3*x²)+2*b*(t²+x²)+2*c*t+2*d
=2*(a*t³+b*t²+c*t+d)+2*x²*(3*a*t+b)
=2*(a*t³+b*t²+c*t+d)　　（∵t=-b/(3*a),∴3*a*t+b=0）
=2*f(t)

证明：函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像是中心对称图形已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则实数b的取值范围为若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,且x1+x2>0,则bc 0 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则（　　） f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则b,c满足的条件是? 设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像F上有两个极值点p,q其中p为坐标原点已知a≠0,函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像关于原点对称的充要条件是( ) 已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d，方程f（x）=0 若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,且x1+x2>0,则bc正负分别为函数f(x)=ax3 bx2 cx d 当x=1时极大8 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则 b2-3ac 已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．