已知抛物线C：x^2=4y的焦点为F,点P为抛物线下方的一点,过点P作抛物线两条切线PA、PB,切点为A、B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 18:42:20

已知抛物线C：x^2=4y的焦点为F,点P为抛物线下方的一点,过点P作抛物线两条切线PA、PB,切点为A、B
（1）若A、B、F三点共线,求证：点P在抛物线的准线L上；
（2）对任意的点P,求证∠AFP=∠BFP

（1）设A、B两点坐标分别是(xa,ya)、(xb,yb),它们与焦点F(0,1)共线,所以
(ya-1)/(xa-0)=(yb-1)/(xb-0)
=> xa/xb=(ya-1)/(yb-1) .(1)
过A、B两点的切线分别是
xa*x=4(ya+y)/2
xb*x=4(yb+y)/2
P(xp,yp)在两切线上,所以满足
xa*xp=2(ya+yp)
xb*xp=2(yb+yp)
两式相除得 xa/xb=(ya+yp)/(yb+yp)
与（1）式比较得,(ya-1)/(yb-1)=(ya+yp)/(yb+yp)
解得,yp=-1
又抛物线的准线方程为y=-1,所以P在准线上.
（2）设A、B两点坐标分别是(xa,ya)、(xb,yb),则过A、B点的切线方程为
xa*x=4(ya+y)/2
xb*x=4(yb+y)/2
交点P(xp,yp),xp=2(ya+yp)/xa
xp=2(yb+yp)/xb
注意到xa^2=4ya ,xb^2=4yb
解得 yp=(xb*ya-xa*yb)/(xa-xb)
=(xb*xa^2/4-xa*xb^2/4)/(xa-xb)
=xa*xb/4 .(2)
xp=(ya-yb)/(xa-xb)=(xa+xb)/2 .(3)
又FA、FB的方程分别为
(y-1)/x=(ya-1)/xa
(y-1)/x=(yb-1)/xb
=> (ya-1)/xa *x -y +1=0
(yb-1)/xb *x- y+ 1=0
P(xp,yp)到FA、FB的距离为da,db
da=|(ya-1)/xa *xp -yp +1|/√[(ya-1)^2/xa^2 +1]
=|xp(ya-1)-xa(yp-1)|/√[(ya-1)^2+xa^2]
将(2)、(3)代入,并注意到xa^2=4ya
da=|(xa+xb)/2*(ya-1)-xa(xa*xb/4-1)|/√(ya^2+2ya+1)
=|(xa+xb)(ya-1)/2-ya*xb+xa|/(ya+1)
=|xa-xb|
同理可得,db=|xa-xb|
于是,da=db,即P到FA、FB的距离相等,P在角AFB的角平分线上.
所以∠AFP=∠BFP.证毕.
题外话,上述结果应该是所有抛物线的性质?
令人意外的是,点到两切线的距离,居然如此简单,它恰好等于AB两点线段在X轴上的投影长.