作业帮有关线性代数特征值求法概念问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 02:53:26
有关线性代数特征值求法概念问题
Ax=入x
(A-入I)x=0
/A-入I/=0
(A-入I)x=0是齐次线性方程组,x为非零向量,入为非零常数,使得方程成立,也就是说,x的解不唯一,系数阵的非零子式最高阶数小于未知数,得/A-入I/=0
但是,x为非零向量就决定了解不唯一,但系数阵的非零子式最高阶数可以等于未知数个数啊,一个非零解不也是解唯一吗?
Ax=入x
(A-入I)x=0
/A-入I/=0
(A-入I)x=0是齐次线性方程组,x为非零向量,入为非零常数,使得方程成立,也就是说,x的解不唯一,系数阵的非零子式最高阶数小于未知数,得/A-入I/=0
但是,x为非零向量就决定了解不唯一,但系数阵的非零子式最高阶数可以等于未知数个数啊,一个非零解不也是解唯一吗?
齐次线性方程组 (A-入I)x=0 有非零解时, 就有无穷的解
系数阵的非零子式最高阶数可以等于未知数个数时, 齐次线性方程组(A-入I)x=0 只有零解
这时 λ 不是特征值.
总之, λ是特征值的充分必要条件是 |A-λE| = 0.
再问： 为什么齐次线性方程组 (A-入I)x=0 有非零解时, 就有无穷的解？
再答： 这是因为 齐次线性方程组 的解的线性组合 仍是方程组的解 比如: 若 x是解向量, 则kx也是解向量(k为任意常数)
再问： /A-入I/=0其中λ不也有一个值使得X为零向量吗？那么这个推导不就不成立了吗？
再答： 当然有. 对任意λ, 齐次线性方程组 (A-λI)x=0 总是有零解! 但特征向量要求是非零向量. 所以要求 (A-λE)X=0 有非零解. 即λ 要满足 |A-λE| = 0. 这样的λ才是A的特征值, (A-λE)X=0 的非零解x 才是A的属于特征值λ的特征向量.
再问： |A-λE| = 0表示的不是解不唯一，但也包括零解吗？λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？还是说如果x可以为零解，那么λ 要满足 |A-λE| = 0其求出来的x为非零解，但是如果改成x为零解对应于x为非零解是的数λ时，也是成立的，也就是说λ 要满足 |A-λE| = 0，解出来的一定是非零解，但此时 λ不变，x改为0阵，也是成立的，但这种情况是属于x为零解是的情况，而不包括在λ 要满足 |A-λE| = 0的情况里，对吗？
再答： |A-λE| = 0表示的不是解不唯一，但也包括零解吗？ 答: |A-λE| = 0时, (A-λE)X = 0有非零解. 零解是齐次线性方程组都有的解. 在计算特征值特征向量时, 要求特征向量非零, 所以不考虑零解. λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？还是说如果x可以为零解，那么λ 要满足 |A-λE| = 0其求出来的x为非零解，但是如果改成x为零解对应于x为非零解是的数λ时，也是成立的，也就是说λ 要满足 |A-λE| = 0，解出来的一定是非零解，但此时 λ不变，x改为0阵，也是成立的，但这种情况是属于x为零解是的情况，而不包括在λ 要满足 |A-λE| = 0的情况里，对吗？ 答: 天呢, 你也太绕了吧! ""λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？"" 上面说了, 不管λ取什么值, 齐次线性方程组总是有零解, 哪有齐次线性方程组的解一定是非零解这一说呀?! 是 λ 满足 |A-λE| = 0 时, (A-λE)X=0 有非零解, 是 "" 有 "" 非零解!!! 特征向量必须是非零的.
再问： λ 满足 |A-λE| = 0 时, (A-λE)X=0 有非零解这里的非零解是所有的非零解吗，也就是说能解出所有的非零解吗？而且求出来的非零解可以是一个，也可以是多个，这里的“一个”指的一定是基础解系吗？如果不是基础解系，那么“一个”代表的就是无穷多的解，对吗？我们平时说的非零解有一个或两个，其实指的都是极大线性无关组，对吗？
再答： (A-λE)X=0 的非零解都是λ的特征向量 若求所有的λ的特征向量, 就要求出所有的非零解 齐次线性方程组的所有解(或通解)就是其 基础解系的线性组合 所以所有的非零向量就是基础解系的非零线性组合. 你基础不太扎实, 建议看看教材线性方程组解的结构这部分
系数阵的非零子式最高阶数可以等于未知数个数时, 齐次线性方程组(A-入I)x=0 只有零解
这时 λ 不是特征值.
总之, λ是特征值的充分必要条件是 |A-λE| = 0.
再问： 为什么齐次线性方程组 (A-入I)x=0 有非零解时, 就有无穷的解？
再答： 这是因为 齐次线性方程组 的解的线性组合 仍是方程组的解 比如: 若 x是解向量, 则kx也是解向量(k为任意常数)
再问： /A-入I/=0其中λ不也有一个值使得X为零向量吗？那么这个推导不就不成立了吗？
再答： 当然有. 对任意λ, 齐次线性方程组 (A-λI)x=0 总是有零解! 但特征向量要求是非零向量. 所以要求 (A-λE)X=0 有非零解. 即λ 要满足 |A-λE| = 0. 这样的λ才是A的特征值, (A-λE)X=0 的非零解x 才是A的属于特征值λ的特征向量.
再问： |A-λE| = 0表示的不是解不唯一，但也包括零解吗？λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？还是说如果x可以为零解，那么λ 要满足 |A-λE| = 0其求出来的x为非零解，但是如果改成x为零解对应于x为非零解是的数λ时，也是成立的，也就是说λ 要满足 |A-λE| = 0，解出来的一定是非零解，但此时 λ不变，x改为0阵，也是成立的，但这种情况是属于x为零解是的情况，而不包括在λ 要满足 |A-λE| = 0的情况里，对吗？
再答： |A-λE| = 0表示的不是解不唯一，但也包括零解吗？ 答: |A-λE| = 0时, (A-λE)X = 0有非零解. 零解是齐次线性方程组都有的解. 在计算特征值特征向量时, 要求特征向量非零, 所以不考虑零解. λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？还是说如果x可以为零解，那么λ 要满足 |A-λE| = 0其求出来的x为非零解，但是如果改成x为零解对应于x为非零解是的数λ时，也是成立的，也就是说λ 要满足 |A-λE| = 0，解出来的一定是非零解，但此时 λ不变，x改为0阵，也是成立的，但这种情况是属于x为零解是的情况，而不包括在λ 要满足 |A-λE| = 0的情况里，对吗？ 答: 天呢, 你也太绕了吧! ""λ 要满足 |A-λE| = 0，那么所得的解一定是非零解吗？"" 上面说了, 不管λ取什么值, 齐次线性方程组总是有零解, 哪有齐次线性方程组的解一定是非零解这一说呀?! 是 λ 满足 |A-λE| = 0 时, (A-λE)X=0 有非零解, 是 "" 有 "" 非零解!!! 特征向量必须是非零的.
再问： λ 满足 |A-λE| = 0 时, (A-λE)X=0 有非零解这里的非零解是所有的非零解吗，也就是说能解出所有的非零解吗？而且求出来的非零解可以是一个，也可以是多个，这里的“一个”指的一定是基础解系吗？如果不是基础解系，那么“一个”代表的就是无穷多的解，对吗？我们平时说的非零解有一个或两个，其实指的都是极大线性无关组，对吗？
再答： (A-λE)X=0 的非零解都是λ的特征向量 若求所有的λ的特征向量, 就要求出所有的非零解 齐次线性方程组的所有解(或通解)就是其 基础解系的线性组合 所以所有的非零向量就是基础解系的非零线性组合. 你基础不太扎实, 建议看看教材线性方程组解的结构这部分