lim(x+sinx)/x的极限问题?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 07:32:27

lim(x+sinx)/x的极限问题?
1.如题,正解中说lim(x+sinx)/x（x->无穷）的1+cosx不存在,也就是说不能用洛必达法则,但是洛必达法则不说说最后的值可以是一个数也可以是无穷吗（也就是不存在）啊!
2.lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)当x趋向0,这个题用洛必达法则行不行?我用了在分子出出现了一个sin1/x结果就是3+无穷/2
可是正解是3/2

楼主的对这部分的想法混淆得太厉害,真是剪不断,理还乱.
我也不是老师也不知道给你从何说起,就一个问题一个问题的来吧.
第一题：
lim(x+sinx)/x（x→∞）
=lim(1+ sinx/x）
=1+lim sinx/x
=1+0=1
lim sinx/x（x→∞）= 0 这个是因为分子 sinx有界分母趋近∞.
本题为什么不能用洛必达
分子分母同时求导后得到 1+cosx （x→∞）
-1≤cosx≤1
0≤1+cosx≤2 这个是不存在了但是不是无穷因为它大于0小于2.
也就是说最后的1+cosx 即不收敛于一个数,也不是无穷所以洛氏法则失效.
楼主的“洛必达法则不是说最后的值可以是一个数也可以是无穷吗”这句话是对的.
但是加上后面的括号（也就是不存在）就不对了.
无穷和不存在是不等价的.
第二题：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
直接洛氏法则也行不通.
我用了在分子出出现了一个sin（1/x）
那结果就是 [3-sin（1/x）]/2 楼主得到3+无穷/2
应该是以为：sin（1/x）为无穷吧.呵呵,不是的.
-1≤sin(这个里面不管是什么)≤1
那么同样 [3-sin（1/x）]/2 即不收敛于一个数,也不是无穷.洛氏法则失效.
那么这个题真么做呢?
和上面一样分成两个极限求：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
=lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)+ lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
=3/2 + lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=3/2 + 0
=3/2
lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)=3/2 这个极限你可以直接用洛氏法则.其实用等价无穷系代换非常简单.
后面一个极限：
lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=lim (xcos1/x)/(1+cosx)-------利用了等价无穷小代换： x代换ln(1+x)
=(0*cos1/x)/2
=0
楼主主要混淆的地方在于无穷和不存在的区分.
这一个小问题影响了楼主对高数很多问题的混淆.

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