作业帮线性代数（矩阵的秩,n维向量,向量组的相关性）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 07:39:13
线性代数（矩阵的秩,n维向量,向量组的相关性）
充分性：假设b有两种表示
b=s1a1+s2a2+……+srar(1)
b=t1a1+t2a2+……+trar(2)
(1)-(2)得(s1-t1)a1+(s2-t2)a2+……+（sr-tr)ar=0
因为a1,a2,……,ar线性无关,所以si-ti=0,si=ti(i=1,2,……,r),即表示唯一
必要性：设常数s1,s2,……,sn使得s1a1+s2a2+……+srar=0(3)
由b表示唯一性,存在常数k1,k2,……,kr有
k1a1+k2a2+……+krar=b(4)
(4)-(3)得(k1-s1)a1+(k2-s2)a2+……+(kr-sr)ar=b(5)
由b表示唯一性,比较(4)(5)对应系数相等ki-si=ki,所以si=0,即a1,a2,……,ar线性无关.
证毕!
b=s1a1+s2a2+……+srar(1)
b=t1a1+t2a2+……+trar(2)
(1)-(2)得(s1-t1)a1+(s2-t2)a2+……+（sr-tr)ar=0
因为a1,a2,……,ar线性无关,所以si-ti=0,si=ti(i=1,2,……,r),即表示唯一
必要性：设常数s1,s2,……,sn使得s1a1+s2a2+……+srar=0(3)
由b表示唯一性,存在常数k1,k2,……,kr有
k1a1+k2a2+……+krar=b(4)
(4)-(3)得(k1-s1)a1+(k2-s2)a2+……+(kr-sr)ar=b(5)
由b表示唯一性,比较(4)(5)对应系数相等ki-si=ki,所以si=0,即a1,a2,……,ar线性无关.
证毕!