作业帮关于线性代数的一道题.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 05:10:46
关于线性代数的一道题.
已知平面上3条不同直线的方程为
ax+2by+3c=0；bx+2cy+3a=0；cx+2ay+3b=0
证明这3条直线交于一点的充要条件是a+b+c=0 .
已知平面上3条不同直线的方程为
ax+2by+3c=0；bx+2cy+3a=0；cx+2ay+3b=0
证明这3条直线交于一点的充要条件是a+b+c=0 .
如果a＋b＋c＝0,容易验证x＝3,y＝3/2满足三个方程,所以三直线交于一点(2,3/2)
如果三直线交于一点(x0,y0),则以下三元一次方程组
ax＋2by＋3cz＝0
bx＋2cy＋3az＝0
cx＋2ay＋3bz＝0
有x＝x0,y＝y0,z＝1. 即三元方程组有一非零解,所以方程组的系数行列式D＝0
D＝
|a 2b 3c|
|b 2c 3a|＝3(a＋b＋c)[(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2]
|c 2a 3b|
因为三直线不相同,所以(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2≠0. 所以a＋b＋c＝0
如果三直线交于一点(x0,y0),则以下三元一次方程组
ax＋2by＋3cz＝0
bx＋2cy＋3az＝0
cx＋2ay＋3bz＝0
有x＝x0,y＝y0,z＝1. 即三元方程组有一非零解,所以方程组的系数行列式D＝0
D＝
|a 2b 3c|
|b 2c 3a|＝3(a＋b＋c)[(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2]
|c 2a 3b|
因为三直线不相同,所以(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2≠0. 所以a＋b＋c＝0