作业帮求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 08:51:31
求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心．
已知：如图，在三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，O为△ABC的垂心．求证：A在平面PBC内的射影，是△PBC的垂心．
证明：连AO交BC于D，∵PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥BC
∵O为△ABC的垂心，∴BC⊥AO
∵PO∩AO=O，∴BC⊥平面PAD，从而BC⊥PA，
同理，AB⊥PC．
由于BC⊥平面PAD，所以平面PBC⊥平面PAD，作AH⊥PD于H，则AH⊥平面PBC
所以BH是AB在平面PBC内的射影，
由于AB⊥PC，由三垂线定理得，BH⊥PC．
又BC⊥PD，∴H是△PBC的垂心．
求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心．
若三棱锥的三条侧棱两两垂直,求证：顶点在底面内的射影是底面三角形的垂心,且在底面钝角三角形的内部
49．三棱锥满足什么条件,其顶点在底面的射影是底面三角形的垂心?
棱长相等三棱锥,顶点到底面射影,为底面三角形的外心.
三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的（ ）
三棱锥p-abc的三条侧棱长相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的什么心
已知三棱锥顶点P在底面的射影O是三角形ABC的垂心,且PA垂直PB,求证PA垂直平面PBC
如果说三棱锥的顶点在底面三角形的射影是该三角形的垂心,能不能推出三条侧棱互相垂直呢?
“三棱锥的三对相对棱互相垂直,那么棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心”怎么证明?
三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等,则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )
空间正四面体的底面是什么 顶点在底面的射影是三角形的什么心
三棱椎顶点在底面射影是底面三角形的什么心?