在平面直角坐标系xoy中,已知二次函数y=ax2-2ax+c(a不等于0）的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 01:08:56

在平面直角坐标系xoy中,已知二次函数y=ax2-2ax+c(a不等于0）的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边）,AB=4,与y轴交于点C,且过点(2,3)．
（3）点K在抛物线上与点C是关于对称轴的对称点,点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在,请说明理由（一二问不用了）

设两交点A,B横坐标为x1,x2,则有
AB^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4^2
由韦达定理即有 2^2-4c/a=4^2
解得c/a=-3,即c=-3a
将点(2,3)代入y=a(x^2-2x-3)可得
3=a(2^2-2*2-3),可解得a=-1
∴抛物线方程为y=-x^2+2x+3
易求得抛物线与y轴交点为C(0,3),A点坐标为A(-1,0)
抛物线对称轴为x=1,则K点坐标为K(2,3)
设x轴上点F坐标为F(f,0),抛物线上G点坐标为G(m,n)
则有n=-m^2+2m+3 (1)
□AKFG为平行四边形,则有AK∥GF,且AK=GF
即有 k(AK)=3/3=1=k(GF)=n/(m-f) (2)
3^2+3^2=(m-f)^2+n^2 (3)
联立(1),(2),(3),消去m,n,即可求得f
解得m=0,2; n=3; f=-3,-1
或m=1±√7; n=-3; f=4±√7
但m=2时,G点与K点重合,故此解舍弃
综上所述,在x轴上共有三点F1(-3,0),F2(4+√7,0),F3(4-√7,0)
满足条件,使A, K, F, G四点构成的四边形为平行四边形