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求证函数f(x)=（1+1/X)^X为增函数 可按定义 也可求导 给出具体步骤

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/01 04:42:57
求证函数f(x)=（1+1/X)^X为增函数 可按定义 也可求导 给出具体步骤
f(x)=（1+1/X)^X的极限怎么求出是e
顺便说下 导数f'(x)能求f(x)的零点吗 可以的话 举个例子 感激不尽
f(x)=(1+1/x)^x=e^(ln(1+1/x)^x)=e^(xln(1+1/x))
然后就按复合函数求导法则求即可,求出来很复杂,这里就不打了
如果你只是为了证明f(x)是增函数,可以先取对数,即令g(x)=lnf(x)=xln(1+1/x),再只要对g(x)求导,证明g(x)是单调递增函数就行了.
事实上,这种指数和底数都含有未知数（自变量）的问题,先不管三七二十一取一下对数有时会有意想不到的效果.
至于f(x)=（1+1/X)^X的极限是e,这是定义,高等数学的知识体系里,先证明这个函数当x趋于∞时有极限(证明过程涉及高等数学知识,这里不再赘述）,然后数学上就把这个极限定义为常数e,e就是这么来的
利用导数并不能直接求零点,不过你可以利用导数讨论出函数的单调性,再作出函数简图,进而讨论它的零点.就像你讨论f(x)=x³的零点,利用导数可知f(x)在R上单调递增,而又恰好有f(0)=0,故可知x＜0时f(x)＜f(0)=0,x＞0时f(x)＞f(0)=0,故f(x)在R上只有一个零点.当然要求f(x)=x³的零点不必这么麻烦,直接解方程就行了,这里只是作个例子而已
希望对你有帮助.
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