作业帮A,B均为正定矩阵,且AB=BA,A,B的特征值分别为λ1,λ2...λn；μ1,μ2,...μn.证明AB特征值 为λ
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 16:57:09
A,B均为正定矩阵,且AB=BA,A,B的特征值分别为λ1,λ2...λn；μ1,μ2,...μn.证明AB特征值 为λiμi
其中i为下标（i=0,1,2...n）
其中i为下标（i=0,1,2...n）
只能证明存在λ1,λ2...λn；μ1,μ2,...μn的一种排列方式使得AB特征值 为λiμi
证明,设xi是对应λi的A的特征向量
则Axi=λixi
ABxi=BAxi=Bλixi=λiBxi
所以Bxi也是A的特征值为λi的特征向量
所以必须有Bxi=μixi
所以μi是B的特征值
ABxi=Aμixi=μiAxi=μiλixi
所以λiμi是AB的特征值
再问： 谢谢了 但我认为这是当λ特征值为单值时成立，我想问下当λ为二重特征值时，即有x1；x2为λ线性无关的特征向量，能推导出Bx1；Bx2也为λ的线性无关的特征向量，但如何证明Bx1，Bx2，与x1，x2的的关系呢？我知道Bx1=μ1x1，Bx1=μ2x2；这种情况结论成立，但存不存在Bx1=k1x2，Bx2=k2x2这种情况呢？
再答：
证明,设xi是对应λi的A的特征向量
则Axi=λixi
ABxi=BAxi=Bλixi=λiBxi
所以Bxi也是A的特征值为λi的特征向量
所以必须有Bxi=μixi
所以μi是B的特征值
ABxi=Aμixi=μiAxi=μiλixi
所以λiμi是AB的特征值
再问： 谢谢了 但我认为这是当λ特征值为单值时成立，我想问下当λ为二重特征值时，即有x1；x2为λ线性无关的特征向量，能推导出Bx1；Bx2也为λ的线性无关的特征向量，但如何证明Bx1，Bx2，与x1，x2的的关系呢？我知道Bx1=μ1x1，Bx1=μ2x2；这种情况结论成立，但存不存在Bx1=k1x2，Bx2=k2x2这种情况呢？
再答：
A,B均为正定矩阵,且AB=BA,A,B的特征值分别为λ1,λ2...λn；μ1,μ2,...μn.证明AB特征值 为λ
设A,B是n阶实矩阵,A的特征值互逆,证明矩阵AB=BA的充要条件为A的特征值都是B的特征值
已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵.
大学线性代数:已知A,B为n阶正定矩阵,且有AB=BA,证明：AB也是正定矩阵.
设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵；
A,B都为n阶正定矩阵,证明:AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA.
高等代数证明：A、B皆为n阶方阵,如果AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明B相似于对角
A为n阶实对称矩阵,B为半正定矩阵,求证AB特征值全为实数
A,B都是n阶半正定矩阵,证明：AB的特征值都≥0
设A,B为n阶实正定矩阵,AB=BA且A^2=B^2,证明A=B.
A,B为n阶复矩阵,A半正定, A^rB=BA^r证明AB=BA